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如果f(X)是R上的奇函数,则g(X)=丨f(X)丨+f(丨x丨)是偶函数,怎么解得

发布网友 发布时间:2024-09-29 07:07

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2个回答

热心网友 时间:1天前

这个问题问得好啊!是这样的,既然F(x)为奇函数,那么该函数的图像在(负无穷,0],[0,正无穷]这两个区间是关于原点对称的(也可能不是这个定义域,但是定义域一定关于原点对称的)。那么y=|f(x)|就是偶函数,并且该函数的值域为[0,正无穷)或者是它的子集。因为如果y=f(x)的图像在第三四象限的部分的定义域为M.那么y=|f(x)|在定义域M上的图像和y=f(x)是关于x轴对称的。并且在y=f(x)上又可以找到y=f(x)在定义域M上关于y轴的对称点。所以y=|f(x)|是偶函数.

y=f(|x|)与|f(x)|是不同的两个函数,初学者很容易搞混淆(我也不例外)。不同在哪里呢?

就在与绝对值作用的部分不同。前者的绝对值作用在自变量x上,后者作用在因变量y上。

所以它们的图像不一定相同。这时你可以先画出y=f(|x|)在y轴和y轴右侧的图像。然后把自变量x的绝对值去掉。变为-x。然后画出y轴右侧的图像。你会发现,该函数y轴左侧与y轴右侧的图像完全相同。因为相反数的绝对值相同。而且y=f(x)为奇函数,所以它的定义域一定是关于原点对称的。也就是该函数的自变量x取不同值,总是可以找到x的相反数-x.

所以y=(|x|)是偶函数。

既然y=f(|x|)与y=|f(x)|都是偶函数。那么g(x)当然是偶函数啦。这个我就不做解释了。

热心网友 时间:1天前

f(X)是R上的奇函数,所以f(-X)=-
f(X)
有g(X)=丨f(X)丨+f(丨x丨)
则g(-X)=丨f(-X)丨+f(丨-x丨)=丨f(X)丨+f(丨x丨)=g(X)
所以g(X)=丨f(X)丨+f(丨x丨)是偶函数
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