求数列1/(1*2),1/(2*3),1/(3*4)...1/(n*(n+1))的和

证：n=1时，S1=1/(1×2)=1/2=1/(1+1)，猜想的表达式成立。假设当n=k(k∈N，且k≥1)时，表达式成立，即Sk=k/(k+1)，则当n=k+1时，S(k+1)=1/(1×2)+1/(2×3)+...+1/[k(k+1)]+1/[(k+1)(k+2)]=Sk+1/[(k+1)(k+2)]=k/(k+1)+1/[(k+1)(k+2)]...

1/2x3=（1/2）-（1/3）1/3x4=（1/3）-（1/4）……1/n(n+1)=(1/n)-(1/n+1)所以前n项的和为1-（1/n+1）

根据:1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)1/1*2+1/2*3+1/3*4+.1/n(n+1)=1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.+1/(n-1)-1/n +1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1)

这是数列问题(这里这是通常所说数列的一部分),首先找通项an=1/n(n+1)=1/n+1/(n+1)总和S=1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)在这里,n=2002,把它代入上式计算就是了.答案是S=2002/2003 ...

利用这个变形试一试吧。

1/(1*2) = 1-1/2 1/(2*3) = 1/2-1/3 1/(3*4) = 1/3-1/4 ...1/[n*(n+1)] =1/n-1/(n+1)把上面的相加 第一个的-1/2 和第二个的1/2 抵消 第二个的-1/3 和第三个的1/3 抵消 以此类推 前一项的后面都可以写后一项的前面抵消 ...倒数第二项的-1/n 和...

==n/n+1。1、可以分析数列的规律：1/1×2=1-1/2，1/2×3=1/2-1/3；即每个数字都可以进行拆分为两个分数相减，通项公式为：1/n(n+1)=1/n-1/n+1 2、1/1×2+1/2×3+1/3×4+...1/n(n+1)=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/n-1/n+1=1-1/n+1=n/n+1。

1/1*3=(1/2)(1-1/3)1/2*4=(1/2)(1/2-1/4)...1/n(n+2)=(1/n - 1/(n+2))/2 原式=(1/2)(1-1/3+1/2-1/4+...+1/(n-1)-1/(n+1)+1/(n)-1/(n+2))=(1/2)(1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2))=3/4-(2n+3)/2(n+1)(n+2)

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）（1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]（3）1/[n(n+1)...

1/1*3=(1/2)(1-1/3)1/2*4=(1/2)(1/2-1/4)...1/n(n+2)=(1/n - 1/(n+2))/2 原式=(1/2)(1-1/3+1/2-1/4+...+1/(n-1)-1/(n+1)+1/(n)-1/(n+2))=(1/2)(1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2))=3/4-(2n+3)/2(n+1)(n+2)...