已知a,b,c属于R+且a+b+c=1,证明(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)大于等于8

因为a+b+c=1,且a+b+c大于等于3*立方根(abc),即立方根(abc)=3.又因为(ab+bc+ac)大于等于3*立方根（a*a*b*b*c*c）,所以，(ab+bc+ac)/abc大于等于9，所以(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)大于等于8．

先把每个括号内的分子1换成a+b+c，再使用均值不等式。(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)=[(a+b+c)/a-1][(a+b+c)/b-1][(a+b+c)/c-1]=[(b+c)/a][(a+c)/b][(a+b)/c]≥[2√(bc)/a]*[2√(ac)/b]*[2√(ab)/c]=8√(a²b²c²)/abc =8 ∴...

由b/a*a/b=1.所以b/a+a/b≥2,同理 c/a+a/c≥2，b/c+c/b≥2 所以（1/a-1）(1/b-1)(1/c-1)≥8

=(b+c)(c+a)(a+b)/(abc)a>0 b>0 c>0，由均值不等式得 b+c≥2√(bc) c+a≥2√(ac) a+b≥2√(ab)(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1)=(b+c)(c+a)(a+b)/(abc)≥[2√(ab)][2√(bc)][2√(ca)]/(abc)=8abc/(abc)=8 (1/a -1)(1/b -1)(1/c ...

∵（1/a-1) =(1-a)/a =(a+b+c-a)/a =(b+c)/a 又(√b-√c)^2≥0 b+c≥2√(bc) ∴（1/a-1)=(b+c)/a≥2√(bc)/a 同理 (1/b-1)≥2√(ac)/b (1/c-1)≥2√(ab)/c 故(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)≥[2√(bc)/a]*[2√(ac)/b]*[2√...

∵a,b,c为正实数,且a+b+c=1,∴1/a-1=(a+b+c)/a-1=(b+c)/a≥(2√bc)/a>0；1/b-1=(a+b+c)/b-1=(c+a)/b≥(2√ca)/b>0；1/c-1=(a+b+c)/c-1=(a+b)/c≥(2√ab)/c>0,三式相乘,得(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥[(2√bc)/a] [(2√ca...

解：(1)因a+b+c=1,故（1/a)-1=[(a+b+c)/a]-1=(b+c)/a.同理有(1/b)-1=(a+c)/b,(1/c)-1=(a+b)/c.===>m=[(1/a)-1][(1/b)-1][(1/c)-1]=[(b+c)/a][(a+c)/b][(a+b)/c].(2)因a>0,b>0,c>0.由基本不等式可知，a+b≥2√(ab),b+c≥...

1、证明：∵（1/a－1) =(1－a)/a =(a＋b＋c－a)/a =(b＋c)/a 又(√b-√c)≥0 ∴b＋c≥2√(bc) ∴（1/a－1)=(b＋c)／a≥2√(bc)/a 同理： (1/b－1)≥2√(ac)/b (1/c－1)≥2√(ab)/c ∴(1/a－1)·(1/b－1)·(1/c－1)≥[2√(bc)／a...

1-c)/c]=(1-a)(1-b)(1-c)/(abc)由于1-a=b+c 1-b=a+c 1-c=a+b 所以(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b)>=[2√(bc)]*[2√(ac)]*[√(ab)]=8abc 所以(1-a)(1-b)(1-c)/(abc)>=8abc/(abc)=8 即:(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1)>=8 ...

简单计算一下，详情如图所示