怎么用勾股定律算面积?

发布网友发布时间：2024-09-30 13:27

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热心网友时间：1天前

根据勾股定理，a=根号（c平方-b平方）

其中c和b是已知的斜边和直角边

勾股定律

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

1定律内容

在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么可以用数学语言表达：

勾股定理是余弦定理中的一个特例。

2推导证明

定理证法

加菲尔德证法

加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国第20任总统，所以人们又称其为“总统证法”。

在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，，，

勾股定理

∵

加菲尔德证法变式

该证明为加菲尔德证法的变式。

如果将大正方形边长为c的小正方形沿对角线切开，则回到了加菲尔德证法。相反，若将上图中两个梯形拼在一起，就变为了此证明方法。

大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形的面积，即:

青朱出入图

勾股定理青朱出入图，是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，特色鲜明、通俗易懂。

刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。”其大意为，一个任意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列，再以盈补虚，分割线内不动，线外则“各从其类”，以合成弦的正方形即弦方，弦方开方即为弦长。 [3]

欧几里得证法

在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ ABC为一直角三角形，其中 A为直角。从 A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在这个定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：

如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS）

三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。

证明的思路为：从 A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。

其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。

分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。

因为C 、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四边形BDLK=BAGF=AB²。

同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC²。

把这两个结果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是个正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。

此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。

由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。