计算∮xy^2dy-x^2ydx 其中L为上半圆周x^2+y^2=1,y≥0的逆时针方向?

发布网友发布时间：2024-09-26 03:10

共2个回答

热心网友时间：2024-10-06 09:19

补充线段 C ： y = 0， x 从 -1 到 1.
I = ∫<L> = ∮<L+C> - ∫<C>，前者用格林公式，后者 y = 0， dy = 0
则 I = ∫<L>-x^2ydx+xy^2dy = ∫∫<D>(y^2+x^2)dxdy - 0
= ∫<0, π>dt∫<0, 1>(r^2)rdr = π/4

热心网友时间：2024-10-06 09:16

补一条x轴从点(0,0)到点(1,0)
构成一个封闭曲线，使用格林公式，然后再减去在这条直线上的乘积即可！
∮L+l=∬(∂P/∂x-∂Q/∂y)dxdy
=∬(x^2+y^2)dxdy
利用极坐标，x=rcosa,y=rsina
r∈(0,1) a∈(0,π)
则原积分=∫(0,π)da∫(0,1)r^2*rdr
=π/4
而在l上的积分为，y=0,x：从0到1
带入积分则∫l=0
所以原积分=π/4

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