李代数李代数的表示

发布网友发布时间：2024-09-26 01:58

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热心网友时间：2024-10-03 16:26

在数学中，李代数是域F上的线性代数结构，其元素满足特定的性质。一个李代数g与向量空间V之间的关系可以通过线性表示来描述。具体来说，如果存在一个线性映射ρ: g→End(V)，其中End(V)是V上的所有线性变换的集合，那么称ρ为g在V上的线性表示，或简称为表示。这个表示可以用(ρ, V)的形式表示，V被称为ρ的表示空间。如果V的维度为n，我们可以选择一个基，将g与Mat(n, F)（n阶矩阵的集合）等同，得到一个矩阵表示ρ。

如果表示ρ是单射的，即ρ的像包含了映射的所有可能输出，那么(ρ, V)称为忠实表示。阿多-岩沢定理指出，任何有限维的李代数在域F上都有一个忠实表示。表示的不变性也是一个关键概念，如果V的子空间W在ρ(g)（g的所有元素作用下）保持不变，那么W被称为ρ(g)不变的子空间。李代数表示被定义为不可约的，如果除了{0}和V本身外，没有其他不变子空间。一个表示被称为完全可约的，当V可以分解为一些不变子空间的直和，且在这些子空间上，ρ的限制都是不可约的。外尔定理表明，特征为0的半单李代数的有限维表示总是完全可约的。

李代数的伴随表示是一个特别重要的表示形式。对于g中的元素X，定义adX(Y)为[X, Y]，这实际上是一个线性变换，使得adX映射g到g自身，形成一个表示。这个表示的表示空间就是g，被称作g的伴随表示。

对于一个有限维的李代数表示(ρ, V)，我们可以定义一个对称双线性型k: g×g→F，通过迹运算Tr(ρ(X)ρ(Y))来确定。当g是有限维且ρ是伴随表示ad时，这个双线性型称为g的基灵型，它在研究李代数结构中起着至关重要的作用。一个著名的例子是嘉当判定准则，它表明，若一个特征为0的李代数在域上是半单的，那么其基灵型必须是非退化的。

扩展资料

一类重要的非结合代数。最初是由19世纪挪威数学家M.S.李创立李群时引进的一个数学概念，经过一个世纪，特别是19世纪末和20世纪的前叶，由于W.基灵、É.(-J.)嘉当、（C.H.）H.外尔等人卓有成效的工作，李代数本身的理论才得到完善，并且有了很大的发展。