李代数定义

发布网友发布时间：2024-09-26 01:58

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热心网友时间：2024-10-30 02:08

李代数是域F上的向量空间L，其中定义了一个运算[x,y]→[x,y]，满足特定性质。该运算具有以下特征：

双线性：[ax+by,cz+dw]=ac[x,z]+cb[y,z]+ad[x,w]+bd[y,w]，体现了运算的线性性质。
反对称性：[x,x]=0，即自对称元素为零。
Jacobi等式：[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0，体现了运算的交换和对称关系。

李代数的子空间K如果对运算[,]封闭，则称为子代数。子代数I如果满足[x,y]∈I对所有x∈L,y∈I，是不变子代数或理想。特别地，当F为域时，特定条件下的集合g被称为李代数，它包含一个换位运算，满足特定的线性性和反对称性，以及雅可比恒等式。

李代数的维数定义为F上向量空间的维度，交换李代数则是所有元素之间换位运算结果为零的特殊情况。在R^3中，定义特定的换位运算，将R^3构造为李代数。线性变换和矩阵运算也构成对应的李代数，称为全线性李代数和全阵李代数。

李代数的子代数和理想进一步扩展了概念，通过导出链和降中心链定义了可解性和幂零性。幂零李代数是特别重要的，因为它总是可解的，且通过理想序列来描述其结构。

扩展资料

一类重要的非结合代数。最初是由19世纪挪威数学家M.S.李创立李群时引进的一个数学概念，经过一个世纪，特别是19世纪末和20世纪的前叶，由于W.基灵、É.(-J.)嘉当、（C.H.）H.外尔等人卓有成效的工作，李代数本身的理论才得到完善，并且有了很大的发展。