发布网友 发布时间:2024-10-01 12:37
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热心网友 时间:2024-11-30 09:46
最小值为1/32。三种情况下取得此最小值:(1/2,1/4,1/4)、(1/4,1/2,1/4)、(1/4,1/4,1/2)。 求解思路: 由a+b+c=1得b+c=1-a。 由1/a+1/b+1/c=10得1/b+1/c=10-1/a,整理得(b+c)/bc=(10a-1)/a,由此得bc=a(1-a)/(10a-1)。 所以,abc=a^2(1-a)/(10a-1)。求此式最小,此式中仅有一个变量a。 讨论a的取值范围。 由于b+c=1-a,bc=a(1-a)/(10a-1),又(b+c)^2-4bc=(b-c)^2>=0。 所以,(1-a)^2-4a(1-a)/(10a-1)>=0,整理得-10a^2+7a-1>=0,所以1/5<=a<=1/2。 由于a,b,c三个变量是对称的,又a+b+c=1,所以a,b,c中至少有一个大于等于1/3。 不失一般性,令a>=1/3。所以,1/3<=a<=1/2。 讨论函数y=abc=a^2(1-a)/(10a-1)在区间[1/3,1/2]的单调性。 通过尝试绘制图形,可以得到y在区间[1/3,2/5]单调上升,在[2/5,1/2]单调下降(该结论可以用高等数学中的内容证明),且y在a=1/3处的取值大于a=1/2处的取值。所以y在a=1/2处取得最小值,最小值为1/32。 当a=1/2时,b+c=1-a=1/2,bc=a(1-a)/(10a-1)=1/16,所以b=c=1/4。 因为a具有一般性,a,b,c三个变量是对称的,所以在a,b,c取值为(1/2,1/4,1/4)、(1/4,1/2,1/4)和(1/4,1/4,1/2)时,都取得最小值1/32.热心网友 时间:2024-11-30 09:47
∵a+b+c=1,1/a+1/b+1/c=10,热心网友 时间:2024-11-30 09:47
1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ca)/abc=10
热心网友 时间:2024-11-30 09:48
构造函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x-abc=x3-x2+10tx-t ,t为待求,转化为三次方程有三正根问题热心网友 时间:2024-11-30 09:49
得1/32