隐函数推理过程

发布网友发布时间：2024-10-01 12:57

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热心网友时间：2024-10-26 11:22

在微分学中，我们研究的是函数y=ƒ(x)的一种特殊形式，它作为方程(1)的解存在，例如:

方程(1): y = F(x, y)

隐函数理论的核心在于处理这种隐含关系。如果不考虑函数的连续性，(1)可能有无数解；但若限定连续，解将被*为两个，一个始终为正，一个始终为负。进一步限定可微性，例如排除x=±1，使得定义域变为开区间(-1 < x < 1)，但仍有两个解。在特定点(x0, y0)的邻域内，根据初始条件（x0, y0）所在的区域（上半平面或下半平面），解将变为唯一。

当函数z=F(x, y)和y=ƒ(x)都连续且可微时，我们可以利用复合函数的微分法则（2）来求解导数，即使直接解出y=ƒ(x)困难，导数的计算仍然可行，条件是(3):

隐函数的导数条件(3)

隐函数理论的关键问题在于，如何在满足原方程(1)的一点邻域内，以及函数F(x, y)可微的前提下，通过附加条件确保原方程确定出唯一的连续且可微的函数y=ƒ(x)，且其导数由(2)唯一决定。隐函数存在定理证实，条件(3)既必要又充分。

这个理论还可以推广到方程组，其中每个方程类似于(2)的微分表达，而附加条件则对应于(3)的形式。

扩展资料

如果方程f(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)即显函数来表示。f(x,y)=0即隐函数是相对于显函数来说的。