在三角形ABC中,a,b,c为内角A,B,C的对边,且sin平方A+sin平方B-sin平方C...

发布网友发布时间：2024-10-01 03:58

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热心网友时间：2024-11-14 08:59

（1）因为A+B+C=180,所以C=180-A-B,并带入上式可得：
sinA^2+sinB^2-sinAsinB=sin(A+B)^2,展开化简可得：cos(A+B)=-1/2,
所以A+B=120,故C=60.

（2）三角形面积S=(1/2)absinC.因为C=60,即为求ab的最大值。
在三角形中，a/sinA=b/sinB=c/sinC.所以ab/(sinA*sinB)=(c/sinC)^2=16/3
三角形面积S=(1/2)sinA*sinB*16/3*3^0.5/2=(24*3^0.5)(sinA*sinB)
把B=120-A带入上式可得，
S=(24*3^0.5)(sinA*sin(120-A))=(24*3^0.5)(sinA*(cosA*3^0.5/2-sinA*1/2)
=(24*3^0.5)(3^0.5*sin2A-1+0.5*cos2A)/4==(24*3^0.5)(cos(2A-60)/2-1/4)
当且仅当a=30时，上式取得最大值，最大值为S=6*3^0.5.
此时，三角形为直角三角形。

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