设G是三角形ABC的重心 求证:BC的平方+3倍GA平方=CA平方+3倍GB平方
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发布时间：2024-09-30 14:57
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时间：2024-11-03 10:52
AB²=AD²+BD²-2AD*BD*cosADB
AC²=AD²+CD²-2AD*CD*cosCDB
因为∠ADB+∠CDB=180°，所以cosADB+cosCDB=0，
又因为BD=CD，所以两式相加即得
AB²+AC²=2AD²+BD²+CD²=2AD²+1/2*BC²。得证。
证明：设三角形重心（BE、CF交点）为G，
则BG=2/3*BE，CG=2/3*CF，
由引理
a²+c²=2BE²+b²/2
a²+b²=2CF²+c²/2
得BE²=1/4*(2a²+2c²-b²), CF²=1/4*(2a²+2b²-c²)。
BG²=4/9*BE²，CG²=4/9*CF²
BG²+CG²=4/9*(BE²+CF²)
=1/9*(2a²+2c²-b²+2a²+2b²-c²)
=1/9*(4a²+b²+c²)
=1/9*(4a²+5a²)=a²
故BG⊥CG，即BE⊥CF。
