f(x)在[0,1]上可导,且f(0)=0,│f'(x)│≤½f(x),证明f(x)≡0

可积和原函数存在完全两个概念。可积但原函数不一定存在，原函数存在不一定可积，二者没有必然关系。可积的充分条件：函数连续或函数在区间上有界且有有限个间断点。或函数在区间单调。原函数存在的充分条件：连续。另外函数含有第一类间断点，那么不存在原函数，含无穷型的间断点也不存在原函数。

且| f(x0)|是[0,0.5]上的最大值，则：|f(x0)|=|f(x0)-f(0)|<=|f '(y)|*0.5<=|f (y)|*0.5<|f(y)| 其中y属于（0，x0）而这与|f(0)|是最大值矛盾！故|f(x0)|=0 后面同理

利用定积分的柯西-许瓦茨不等式，可得|f(1)|小于等于右边的定积分，不等式恒成立则，|f(x)|的最大值小于等于右边的定积分。令 F(x) = f(x) - x, F(0) > 0, F(1) < 0, F(x)在[0,1]上可导=>连续。故至少在(0,1)内有一点ξ，使得 F(ξ) = 0, 即 f(ξ) = ξ 下面...

f(x)在[0,1]上可导，0<=f(x)<=1 根据中值定理，函数在[0,1]必然存在一点ξ，使f'(ξ)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=f(1)-f(0)又导数值不等于1,因此f(1)-f(0)≠1 故f(1)-f(0)＜1 因此f(x)在[0,1]上不单调，必然存在极值点。

由f(0）=0，f(1)=1，不妨设最大值为f(1)=1，最小值为f(0）=0 则由介值定理知存在实数a∈[0,1]，使得f(a)=1/2(由于1/2在[0,1]之间)由题意可知f(x)在[0,a]上连续，在(0,a)上可导及f(x)在[a,1]上连续，在(a,1)上可导 由拉格朗日中值定理得 存在x1∈[0,a],x2∈...

记a0=0. 由f(x)的连续性,和介值定理知在(0,1)内存在一点a1,使得f(a1)=k1/(k1+k2+...+kn),在(a1,1)内存在一点a2,使得f(a2)=(k1+k2)/(k1+k2+...+kn),...,在(a(n-2), 1)内存在a(n-1),使得 f(a(n-1))=(k1+k2+...+k(n-1))/(k1+k2+...+kn), 再记an=...

f(1)=∫{从0到1} xf(x)dx 用积分中值定理：在(0,1)上存在一点m，使得f(1)=[mf(m)]*(1-0)=mf(m)构造函数g(x)=xf(x)g(1)=f(1)g(m)=mf(m)=f(1)所以g(1)=g(m)在(m,1)上用拉格朗日中值定理，必定存在一点t，使得g'(t)=0 即tf'(t)+f(t)=0 ...

证明如图

若不存在 f'(a)>1，则f'(a)≤1 ∫[0,1] [f'(x)-1]dx ≤ 0 因为f'(x)不恒等于1 所以∫[0,1] [f'(x)-1]dx < 0 所以∫[0,1] f'(x)dx < 1 ≠ 1，矛盾 不知道这样行不行

f(x)在[0,1]上连续，必然存在最大值点，设最大值点为x0，f(x0)=a，如果f(x)不恒等于0，则a>0 根据拉格朗日中值定理，在(0,x1)上存在x2使得f'(x2)=(f(x0)-f(0))/(x0-0) =a/x0>=a（等号只有a=0时成立）而f(x2)>=|f(x2)|>=a与x0是最大值点矛盾 所以a恒等于0...