已知a,b,c都是正数,且a+b+c=1
发布网友
发布时间：2024-09-30 14:53
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热心网友
时间：2024-11-21 07:23
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证明：由a^2+b^2≥2ab
b^2+c^2≥2bc
a^2+c^2≥2ac
三个式子加起来得2(a^2+b^2+c^2)≥2ab+2bc+2ac
在两边同时加上a^2+b^2+c^2得3(a^2+b^2+c^2)≥a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac （*)
由a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2=1
所以（*)得a^2+b^2+c^2>=1/3即证
当a=b=c=1/3时取等号。
(2)
1-c=a+b
∴ (1-c)/(2a+1)
=(a+b)/(2a+1)
=(a+1/2+b-1/2)/(2a+1)
=(a+1/2)/(2a+1)+(1/2)(b-1/2)/(a+1/2)
=1/2+(1/2)(b-1/2)/(a+1/2)
则a>0,b>0,a+b<1
在a-O-b坐标系中，t=(b-1/2)/(a+1/2)的几何意义是(a,b)与(-1/2,1/2)连线的斜率
A(0,1),B(1,0),C(-1/2,1/2)
∴ k(CO)=-1,k(CA)=1
∴ -1<t<1
∴ 1/2+(1/2)(b-1/2)/(a+1/2)∈(0,1)
即(1-c)/(2a+1)的取值范围是(0,1)
