f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) 且f(0)≠0,求证:函数是偶函数

发布网友发布时间：2024-10-19 09:57

共5个回答

热心网友时间：2024-12-01 16:53

当x=0时，上式为：f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)——a
当y=0时，上式为：f(x)+f(x)=2f(x)f(0)——b
将a式写成关于x的函数为：f(x)+f(-x)=2f(x)f(0)——c
因为f(0)≠0，所以从b式和c式可以得到：
f(x)+f(x)=f(x)+f(-x)
所以：f(x)=f(-x)
得出f(x)是偶函数。

热心网友时间：2024-12-01 16:54

假设x=y=0
则f（0）=1
假设x=0,则
f(y)+f(-y)=2f(y)
f(y)=f(-y)
所以函数是偶函数

热心网友时间：2024-12-01 16:54

令x=y=0
则f(0)+f(0)=2f(0)×f(0)
f(0)=1(舍去f(0)=0)

令x=0
则f(y)+f(-y)=2f(0)×f(y)
f(-y)=f(y)
故证

热心网友时间：2024-12-01 16:55

令x=1，y=1 则有：f(2)+f(0)=2f(1)f(1) ..........(1);
令x=1,y=-1 则有：f(0)+f(2)=2f(1)f(-1)..........(2);
(1)-(2)则有：0=2f(1)f(1)-2f(1)f(-1);
故 2f(1)f(1)=2f(1)f(-1);
所以 f(1)=f(-1)
既f(x)=f(-x)
所以函数是偶函数

热心网友时间：2024-12-01 16:56

令y=-x就好了

可以得到2f(x)f(y)＝2f(x)f(－y)

明显知道f(y)＝f(－y)