求极限limx→0{∫(x→0)e^tcostdt-x-x^2/2}/{(x-tanx)(根号下(x+1...

发布网友发布时间：2024-10-21 16:39

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热心网友时间：2024-12-02 15:19

x->0
分母
tanx = x+(1/3)x^3+o(x^3)
x-tanx =-(1/3)x^3+o(x^3)
√(x+1) = 1+(1/2)x+o(x)
√(x+1) -1 = (1/2)x+o(x)
(x-tanx).(√(x+1) -1) =[-(1/3)x^3+o(x^3)].[ (1/2)x+o(x)] =-(1/6)x^4+o(x^4)
//
lim(x->0) [∫(0->x) e^t.cost dt - x - (1/2)x^2 ]/ [(x-tanx).(√(x+1) -1)]
=-6lim(x->0) [∫(0->x) e^t.cost dt - x - (1/2)x^2 ]/x^4
洛必达
=-6lim(x->0) ( e^x.cosx - 1 - x )/(4x^3)
洛必达
=-6lim(x->0) [ (cosx -sinx). e^x - 1 ]/(12x^2)
洛必达
=-6lim(x->0) [(cosx -sinx)+(-sinx-cosx)]. e^x /(24x)
=-6lim(x->0) -2sinx.e^x /(24x)
=-6lim(x->0) -2e^x /24
=1/2

热心网友时间：2024-12-02 15:23

热心网友时间：2024-12-02 15:21

利用等价无穷小代换和洛必达可以求出结果。

热心网友时间：2024-12-02 15:22

x-tanx~ -x^3/3 所以分母等价于 -x^4/ 6 然后用洛必达即可