求证(n!)^2>=n^n,同数学归纳法,2小时内
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发布时间：2024-10-19 22:15
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热心网友
时间：2024-10-19 22:47
求证(n!)²≧nⁿ，用数学归纳法。
证明：当n=1时左边=右边=1；当n=2时左边=右边=4；当n=3时，左边=36>右边=27，即不等式
成立；设当n=k时不等式(k!)²≧k^k成立，那么当n=k+1时：
左边=[(k+1)!]²=[(k!)(k+1)]²=(k!)²(k+1)²≧(k^k)(k+1)²............(1)
下面需要证明一个不等式：(k^k)(k+1)≧(k+1)^k
由于(k^k)(k+1)/(k+1)^k=(k+1)[k/(k+1)]^k=(k+1)[1-1/(k+1)]^k≧(k+1)[1-k/(k+1)]=k+1-k=1
即(k^k)(k+1)≧(k+1)^k，代入(1)式即得：
[(k+1)!]²=[(k!)(k+1)]²=(k!)²(k+1)²≧(k^k)(k+1)²≧(k+1)(k+1)^k=(k+1)^(k+1)
即当n=k+1时原不等式仍然成立，故证。
热心网友
时间：2024-10-19 22:56
（1）当n=1的时候，左边=（1！）^2=1，右边=1^1，所以原命题成立。
（2）当n=2的时候，左边=（2！）^2=4，右边=2^2，所以原命题成立。
（3）当n=3的时候，左边=（3！）^2=36，右边=3^3=27，所以原命题不成立。
也就是说原命题只能在n=1，2时候成立。
热心网友
时间：2024-10-19 22:55
第一个回答是完全正确的，(k+1)[1-1/(k+1)]^k≧(k+1)[1-k/(k+1)]是贝努力不等式，定义：（1+x）^n>=（1+nx）
求证(n!)^2>=n^n,同数学归纳法,2小时内
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