先求导再积分等于他本身+c,那为什么∫f'(2x)dx的结果不是f(2x)+c_百...
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发布时间：2024-10-19 16:55
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时间：2024-10-24 10:08
\x05这节课我们讲原函数的概念,先来看什么是原函数．
\x05已知 求
\x05总成本函数 边际成本
\x05C (x) C(x)
‖
\x05（ ） MC
\x05( )= MC
求 已知
\x05已知总成本C (x),求边际成本C(x),就是求导数．反之如果已知边际成本,用MC表示,要求总成本,这就是我们要讨论的问题,也就是要知道哪一个函数的导数等于MC．我们引进一个概念：
定义1.1 若对任何xD,F(x) = f(x),则称F(x)为f(x)的原函数．
\x05我们来看具体的问题：例如
(x3)= 3x2
\x05F(x) f(x)
x3是3x2的原函数．
\x05大家用自己的方法把它搞清楚,不要和导数的概念搞混了．
\x05先考虑这样一个问题,的原函数是哪个?
\x05由原函数的概念我们就要看哪个函数的导数是,即它使得成立,我们在下列函数中进行选择：,经验证知和是2x的原函数．
\x05通过这个过程应该弄清,求已知函数的原函数,就是看哪个函数的导函数是已知函数,这个函数就是所求的原函数．
\x05另外,2x的原函数不唯一．它告诉我们原函数不止一个．
\x05再从另一方面提出问题,为哪个函数的原函数?
\x05,说明是的原函数．
\x05同样,说明是的原函数．
\x05事实上,都是的原函数,说明原函数有无穷多个．那怎样求出一个函数的所有原函数呢?这是下面要讨论的．
\x05若都是的原函数,则
\x05证：设,
\x05可知,即
\x05这个结论非常重要,我们已经知道,若是的原函数,则都是的原函数． 而这个结论告诉我们任意
\x05两个原函数之间差一个常数． 所以只要求出一个原函数,就能得到所有原函数．
例1 求的全体原函数．
分析：先求一个原函数,再将这个原函数加任意常数就得 到全体原函数．求原函数就是看哪个函数的导数是．
因为 ,所以是的一个原函数．故的全体原函数为
例2 判断是哪个函数的原函数．
分析：看的导函数是哪个函数．
因为,所以是的原函数．
1.1.2 不定积分的定义
定义1.2 的所有原函数的全体称为不定积分．记作,其中称为被积函数,称为积分变量,称为积分符号．
例1 求的全体原函数．
全体原函数就是的不定积分:
例2 求通过点的曲线,使它在点处的切线斜率为．
,得到一族曲线:
曲线过点,即,得到:.所求曲线为
导数与不定积分的关系
我们来讨论两个问题,首先,有两个答案给我们选择:
① ②
要求的不定积分,也就是要看哪个函数的导函数是,答案当然是．但另一方面不定积分是要求全体原函数,所以正确的选择是
再讨论第二个问题
有三个答案给我们选择
① ② ③
所以正确的选择是
\x05由这两个问题我们了解到,导数和不定积分是两种互逆的运算．
求导数求不定积分
求导公式反过来就是积分公式．
例：求．
分析：由微分定义有：
由微分定义有,即求．
1.2 积分基本公式
\x05正因为求导与求不定积分互为逆运算,所以导数基本公式和积分基本公式也是互逆的．也就是说,有一个导数公式,反过来就有一个积分公式．先让我们回顾一下导数基本公式
将以上这些公式反过来看,我们就能得到积分基本公式：
以上这些积分基本公式都是需要牢记的．另外,有一种方法可以检验不定积分计算的正确与否,那就是将计算结果求导数,看是否等于被积函数．由此可见,积分基本公式固然很重要,但最最重要的还是导数基本公式．
\x05再来说明积分公式
当时,
当x
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时间：2024-10-24 10:11
