为什么A^ nB- BA^ n= kA^( k-1)?

发布网友发布时间：2024-10-19 16:55

共1个回答

热心网友时间：2024-10-26 13:07

利用数学归纳法即可：
（1）当k=1时由题设条件知成立
（2）假设当k=n时成立，即A^nB-BA^n=nA^（n-1），对该式两边右乘A得：A^nBA-BA^（n+1）=nA^n…①；对“AB-BA=E”两边左乘A^n得：A^（n+1）B-A^nBA=A^n…②
①+②：A^（n+1）B-BA^（n+1）=（n+1）A^n，即当k=n+1时也成立。
由（1）（2）可知，A^kB-BA^k=kA^（k-1）对任意正整数k均成立。

热心网友时间：2024-10-26 13:07

利用数学归纳法即可：
（1）当k=1时由题设条件知成立
（2）假设当k=n时成立，即A^nB-BA^n=nA^（n-1），对该式两边右乘A得：A^nBA-BA^（n+1）=nA^n…①；对“AB-BA=E”两边左乘A^n得：A^（n+1）B-A^nBA=A^n…②
①+②：A^（n+1）B-BA^（n+1）=（n+1）A^n，即当k=n+1时也成立。
由（1）（2）可知，A^kB-BA^k=kA^（k-1）对任意正整数k均成立。

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