估计量估计量的评选标准

发布网友发布时间：2024-10-20 05:25

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热心网友时间：2024-12-01 14:24

在评估估计量的性质时，无偏性是一个重要的标准。如果估计量 \( \hat{\theta} \) 的数学期望 \( E(\hat{\theta}) \) 存在，并且满足对于所有参数值 \( \theta \in \Theta \)，\( E(\hat{\theta}) = \theta \)，那么我们称 \( \hat{\theta} \) 是 \( \theta \) 的无偏估计。在这个概念中，\( E(\hat{\theta}) - \theta \) 被称为估计的系统误差。无偏估计的意义在于它不带有持久的偏差，即在理论上，它总是能准确捕捉到参数的值。

例如，假设有一个总体 \( X \)，其k阶矩 \( \mu_k = E(X^k) \) 存在，且我们从这个总体中抽取样本 \( X_1, X_2, ..., X_n \)。无论总体分布如何（只要它的数学期望 \( \mu_1 = E(X) \) 存在），样本均值 \( \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i \) 总是总体期望的无偏估计量，无论总体遵循何种分布。

特别地，当考虑均值 \( \mu \) 和方差 \( \sigma^2 \geq 0 \) 都存在的总体时，如果均值和方差都是未知的，那么通常用来估计方差的量（如样本方差）是有偏的，这意味着它们的期望值不等于总体方差 \( \sigma^2 \)。这意味着在实际应用中，我们可能需要寻找其他无偏或更接近无偏的估计方法。