数列不等式,求高手点拨一下
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发布时间：2024-10-20 05:25
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热心网友
时间：2024-12-01 13:07
a(n+1)=an^2-an+1
显然an≠1
故a(n+1)-1=an^2-an=an(an-1)
递推得：a(n+1)-1=an*a(n-1)*......*a2*a1
由a(n+1)-1=an(an-1)得：
1/an=(an-1)/[a(n+1)-1]
所以：1/an=(an-1)/an*a(n-1)*......*a2*a1
=1/a(n-1)*......*a2*a1－1/an*a(n-1)*......*a2*a1
所以：1/a1+1/a2+.....+1/a2008
＝1/a1+[1/a1-1/a2*a1]+[1/a2*a1-1/a3a2*a1]+......+[1/a2007*a2006...a1-1/a2008*a2007...a1]
=1/2+1/2-1/a2008*a2007...a1＝1-1/a2008*a2007...a1
因为：a(n+1)>an>=2，所以：
1-1/(2^2008)<1-1/a2008*a2007...a1<1
证毕
热心网友
时间：2024-12-01 13:03
显然an≠1
故a(n+1)-1=an^2-an=an(an-1)
两边取倒数
1/[a(n+1)-1]=1/[an(an-1)]
=1/(an-1)-1/an
故1/[a(n+1)-1]-1/(an-1)=-1/an
故1/a1+1/a2+.....+1/an
=-{1/(a2-1)-1/(a1-1)+1/(a3-1)-1/(a2-1)+……+1/[a(n+1)-1]-1/(an-1)}
=1/(a1-1)-1/[a(n+1)-1]
=1-1/[a(n+1)-1]<1
下面证明a(n+1)-1>2^n(n≥2)
n=1时，a2-1=a1^2-a1=2
n=2时，a3-1=a2^2-a2=6>4
故n=2时，不等式成立
假设n=k时，不等式成立，即a(k+1)-1>2^k
则n=k+1时，
a(k+2)-1=a(k+1)^2-a(k+1)
=a(k+1)[a(k+1)-1]
>2^k(2^k-1)
>2*2^k=2^(k+1)
故n=k+1时，不等式成立
综上，对任意n≥2，有a(n+1)-1>2^n
故n≥2时，1/[a(n+1)-1]<1/2^n
1/a1+1/a2+.....+1/an>1-1/2^n
令n=2008
即有1-1/(2^2008)<1/a1+1/a2+.....+1/a2008<1
