∫xe^xdx√(e^x-2)求不定积分

发布网友发布时间：2024-10-14 02:39

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热心网友时间：2024-11-01 01:06

∵∫［xe^x/√（e^x－2）］dx
＝∫x［1/√（e^x－2）］d（e^x－2）
＝2∫xd［√（e^x－2）］
＝2x√（e^x－2）－2∫√（e^x－2）dx。

∴令√（e^x－2）＝u，则：x＝ln（2＋u^2），∴dx＝2［u/（2＋u^2）］du。
∴∫［xe^x/√（e^x－2）］dx
＝2x√（e^x－2）－2∫u·2［u/（2＋u^2）］du
＝2x√（e^x－2）－4∫｛［（2＋u^2）－2］/（2＋u^2）｝du
＝2x√（e^x－2）－4∫du＋8∫［1/（2＋u^2）］du
＝2x√（e^x－2）－4u＋8∫［1/（2＋u^2）］du
＝2x√（e^x－2）－4√（e^x－2）＋8∫［1/（2＋u^2）］du。

再令u＝√2t，则：t＝u/√2，du＝√2dt。
∴∫［xe^x/√（e^x－2）］dx
＝2x√（e^x－2）－4√（e^x－2）＋8√2∫［1/（2＋2t^2）］dt
＝2x√（e^x－2）－4√（e^x－2）＋4√2∫［1/（1＋t^2）］dt
＝2x√（e^x－2）－4√（e^x－2）＋4√2arctant＋C
＝2x√（e^x－2）－4√（e^x－2）＋4√2arctan（u/√2）＋C
＝2x√（e^x－2）－4√（e^x－2）＋4√2arctan√［（1/2）e^x－1］＋C。