7的2009次方有什么巧妙算法吗?

发布网友发布时间：2024-10-14 12:06

共2个回答

热心网友时间：2024-10-14 13:30

余数是3
5的2009次＝（7－2）的2009次
根据二项式定理
(7-2)^2009=
7^2009 +
7^2008 * X1 + (这里面X1到Xn是余下的表达式)
7^2007 * X2 +
…
7^1 * 2009 * (-2)^2008 +
(-2)^2009
这样前2008项里面全含有7的某次方，故余数只在第2009项即(-2)^2009次方这一项产生
而(-2)^2009 = -2^2009
即 (5^2009)mod 7 = (-2^2009)mod 7
因为：(-2)^2009 = -2^2009
设 a = (2^2009)mod7
则-a =-(2^2009)mod7
7-a =-(2^2009)mod7
现在只要算出(2^2009)mod7即可
下面证明2的n次方对7取余数的规律：[2^(n+3)]mod7 = (2^n)mod7
2^(n+3)=2^n * 2^3
=2^n * 8
设 2^n = 7b+c ……c是余数,c非负不大于7
则 (2^n)mod7=c
而 2^(n+3)＝2^n * 8
＝8*(7b+c)
＝56b+8c
＝56b+7c+c
而(56b+7c+c)mod7=c
所以[2^(n+3)]mod7 = (2^n)mod7
所以(2^2009)mod7 = (2^2)mod7
= 4 mod 7 =4
所以(-2^2009)mod 7 = 3
综上：
(5^2009)mod7 = [(-2)^2009] mod 7
= (-2^2009) mod 7
= 7 - (2^2009) mod 7
= 7 - 4mod7
= 7 - 4
= 3

热心网友时间：2024-10-14 13:31

不是让算得多少吧？算个位数对吧？
7的乘方的个位数是7 9 3 1循环的
2009个7相乘的个位数是7