将函数f(x)=(1 x^2)arctanx展成麦克劳林幂级数

发布网友 发布时间：2022-05-07 13:50

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热心网友 时间：2023-11-03 22:43

因为：f′(x)＝?2 1+4x2 ＝?2∞ n＝0 (?1)n4nx2n，x∈(?1 2 ，1 2 )，而f（0）=π 4 ，所以： f(x)＝f(0)+∫x 0 f′(t)dt＝π 4 ?2∫x 0 [∞ n＝0 (?1)n4nt2n]dt=π 4 ?2∞ n＝0 (?1)n4n 2n+1 x2n+1，x∈(?1 2 ，1 2 )，由于级数∞ n＝0 (?1)n 2n+1 收敛，函数f（x）在x＝1 2 处连续，所以：f(x)＝π 4 ?2∞ n＝0 (?1)n4n 2n+1 x2n+1，x∈(?1 2 ，1 2 ]，令x＝1 2 ，得：f(1 2 )＝π 4 ?2∞ n＝0 [(?1)4n 2n+1 ?1 22n+1 ]＝π 4 ?∞ n＝0 (?1)n 2n+1 ，再由：f(1 2 )＝0，得：∞ n＝0 (?1)n 2n+1 ＝π 4 ?f(1 2 )＝π 4 ．

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因为：f′(x)＝?2 1+4x2 ＝?2∞ n＝0 (?1)n4nx2n，x∈(?1 2 ，1 2 )，而f（0）=π 4 ，所以： f(x)＝f(0)+∫x 0 f′(t)dt＝π 4 ?2∫x 0 [∞ n＝0 (?1)n4nt2n]dt=π 4 ?2∞ n＝0 (?1)n4n 2n+1 x2n+1，x∈(?1 2 ，1 2 )，由于级数∞ n＝0 (?1)n 2n+1 收敛，函数f（x）在x＝1 2 处连续，所以：f(x)＝π 4 ?2∞ n＝0 (?1)n4n 2n+1 x2n+1，x∈(?1 2 ，1 2 ]，令x＝1 2 ，得：f(1 2 )＝π 4 ?2∞ n＝0 [(?1)4n 2n+1 ?1 22n+1 ]＝π 4 ?∞ n＝0 (?1)n 2n+1 ，再由：f(1 2 )＝0，得：∞ n＝0 (?1)n 2n+1 ＝π 4 ?f(1 2 )＝π 4 ．

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因为：f′(x)＝?2 1+4x2 ＝?2∞ n＝0 (?1)n4nx2n，x∈(?1 2 ，1 2 )，而f（0）=π 4 ，所以： f(x)＝f(0)+∫x 0 f′(t)dt＝π 4 ?2∫x 0 [∞ n＝0 (?1)n4nt2n]dt=π 4 ?2∞ n＝0 (?1)n4n 2n+1 x2n+1，x∈(?1 2 ，1 2 )，由于级数∞ n＝0 (?1)n 2n+1 收敛，函数f（x）在x＝1 2 处连续，所以：f(x)＝π 4 ?2∞ n＝0 (?1)n4n 2n+1 x2n+1，x∈(?1 2 ，1 2 ]，令x＝1 2 ，得：f(1 2 )＝π 4 ?2∞ n＝0 [(?1)4n 2n+1 ?1 22n+1 ]＝π 4 ?∞ n＝0 (?1)n 2n+1 ，再由：f(1 2 )＝0，得：∞ n＝0 (?1)n 2n+1 ＝π 4 ?f(1 2 )＝π 4 ．

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因为：f′(x)＝?2 1+4x2 ＝?2∞ n＝0 (?1)n4nx2n，x∈(?1 2 ，1 2 )，而f（0）=π 4 ，所以： f(x)＝f(0)+∫x 0 f′(t)dt＝π 4 ?2∫x 0 [∞ n＝0 (?1)n4nt2n]dt=π 4 ?2∞ n＝0 (?1)n4n 2n+1 x2n+1，x∈(?1 2 ，1 2 )，由于级数∞ n＝0 (?1)n 2n+1 收敛，函数f（x）在x＝1 2 处连续，所以：f(x)＝π 4 ?2∞ n＝0 (?1)n4n 2n+1 x2n+1，x∈(?1 2 ，1 2 ]，令x＝1 2 ，得：f(1 2 )＝π 4 ?2∞ n＝0 [(?1)4n 2n+1 ?1 22n+1 ]＝π 4 ?∞ n＝0 (?1)n 2n+1 ，再由：f(1 2 )＝0，得：∞ n＝0 (?1)n 2n+1 ＝π 4 ?f(1 2 )＝π 4 ．

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因为：f′(x)＝?2 1+4x2 ＝?2∞ n＝0 (?1)n4nx2n，x∈(?1 2 ，1 2 )，而f（0）=π 4 ，所以： f(x)＝f(0)+∫x 0 f′(t)dt＝π 4 ?2∫x 0 [∞ n＝0 (?1)n4nt2n]dt=π 4 ?2∞ n＝0 (?1)n4n 2n+1 x2n+1，x∈(?1 2 ，1 2 )，由于级数∞ n＝0 (?1)n 2n+1 收敛，函数f（x）在x＝1 2 处连续，所以：f(x)＝π 4 ?2∞ n＝0 (?1)n4n 2n+1 x2n+1，x∈(?1 2 ，1 2 ]，令x＝1 2 ，得：f(1 2 )＝π 4 ?2∞ n＝0 [(?1)4n 2n+1 ?1 22n+1 ]＝π 4 ?∞ n＝0 (?1)n 2n+1 ，再由：f(1 2 )＝0，得：∞ n＝0 (?1)n 2n+1 ＝π 4 ?f(1 2 )＝π 4 ．

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因为：f′(x)＝?2 1+4x2 ＝?2∞ n＝0 (?1)n4nx2n，x∈(?1 2 ，1 2 )，而f（0）=π 4 ，所以： f(x)＝f(0)+∫x 0 f′(t)dt＝π 4 ?2∫x 0 [∞ n＝0 (?1)n4nt2n]dt=π 4 ?2∞ n＝0 (?1)n4n 2n+1 x2n+1，x∈(?1 2 ，1 2 )，由于级数∞ n＝0 (?1)n 2n+1 收敛，函数f（x）在x＝1 2 处连续，所以：f(x)＝π 4 ?2∞ n＝0 (?1)n4n 2n+1 x2n+1，x∈(?1 2 ，1 2 ]，令x＝1 2 ，得：f(1 2 )＝π 4 ?2∞ n＝0 [(?1)4n 2n+1 ?1 22n+1 ]＝π 4 ?∞ n＝0 (?1)n 2n+1 ，再由：f(1 2 )＝0，得：∞ n＝0 (?1)n 2n+1 ＝π 4 ?f(1 2 )＝π 4 ．

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因为：f′(x)＝?2 1+4x2 ＝?2∞ n＝0 (?1)n4nx2n，x∈(?1 2 ，1 2 )，而f（0）=π 4 ，所以： f(x)＝f(0)+∫x 0 f′(t)dt＝π 4 ?2∫x 0 [∞ n＝0 (?1)n4nt2n]dt=π 4 ?2∞ n＝0 (?1)n4n 2n+1 x2n+1，x∈(?1 2 ，1 2 )，由于级数∞ n＝0 (?1)n 2n+1 收敛，函数f（x）在x＝1 2 处连续，所以：f(x)＝π 4 ?2∞ n＝0 (?1)n4n 2n+1 x2n+1，x∈(?1 2 ，1 2 ]，令x＝1 2 ，得：f(1 2 )＝π 4 ?2∞ n＝0 [(?1)4n 2n+1 ?1 22n+1 ]＝π 4 ?∞ n＝0 (?1)n 2n+1 ，再由：f(1 2 )＝0，得：∞ n＝0 (?1)n 2n+1 ＝π 4 ?f(1 2 )＝π 4 ．

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因为：f′(x)＝?2 1+4x2 ＝?2∞ n＝0 (?1)n4nx2n，x∈(?1 2 ，1 2 )，而f（0）=π 4 ，所以： f(x)＝f(0)+∫x 0 f′(t)dt＝π 4 ?2∫x 0 [∞ n＝0 (?1)n4nt2n]dt=π 4 ?2∞ n＝0 (?1)n4n 2n+1 x2n+1，x∈(?1 2 ，1 2 )，由于级数∞ n＝0 (?1)n 2n+1 收敛，函数f（x）在x＝1 2 处连续，所以：f(x)＝π 4 ?2∞ n＝0 (?1)n4n 2n+1 x2n+1，x∈(?1 2 ，1 2 ]，令x＝1 2 ，得：f(1 2 )＝π 4 ?2∞ n＝0 [(?1)4n 2n+1 ?1 22n+1 ]＝π 4 ?∞ n＝0 (?1)n 2n+1 ，再由：f(1 2 )＝0，得：∞ n＝0 (?1)n 2n+1 ＝π 4 ?f(1 2 )＝π 4 ．

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因为：f′(x)＝?2 1+4x2 ＝?2∞ n＝0 (?1)n4nx2n，x∈(?1 2 ，1 2 )，而f（0）=π 4 ，所以： f(x)＝f(0)+∫x 0 f′(t)dt＝π 4 ?2∫x 0 [∞ n＝0 (?1)n4nt2n]dt=π 4 ?2∞ n＝0 (?1)n4n 2n+1 x2n+1，x∈(?1 2 ，1 2 )，由于级数∞ n＝0 (?1)n 2n+1 收敛，函数f（x）在x＝1 2 处连续，所以：f(x)＝π 4 ?2∞ n＝0 (?1)n4n 2n+1 x2n+1，x∈(?1 2 ，1 2 ]，令x＝1 2 ，得：f(1 2 )＝π 4 ?2∞ n＝0 [(?1)4n 2n+1 ?1 22n+1 ]＝π 4 ?∞ n＝0 (?1)n 2n+1 ，再由：f(1 2 )＝0，得：∞ n＝0 (?1)n 2n+1 ＝π 4 ?f(1 2 )＝π 4 ．

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因为：f′(x)＝?2 1+4x2 ＝?2∞ n＝0 (?1)n4nx2n，x∈(?1 2 ，1 2 )，而f（0）=π 4 ，所以： f(x)＝f(0)+∫x 0 f′(t)dt＝π 4 ?2∫x 0 [∞ n＝0 (?1)n4nt2n]dt=π 4 ?2∞ n＝0 (?1)n4n 2n+1 x2n+1，x∈(?1 2 ，1 2 )，由于级数∞ n＝0 (?1)n 2n+1 收敛，函数f（x）在x＝1 2 处连续，所以：f(x)＝π 4 ?2∞ n＝0 (?1)n4n 2n+1 x2n+1，x∈(?1 2 ，1 2 ]，令x＝1 2 ，得：f(1 2 )＝π 4 ?2∞ n＝0 [(?1)4n 2n+1 ?1 22n+1 ]＝π 4 ?∞ n＝0 (?1)n 2n+1 ，再由：f(1 2 )＝0，得：∞ n＝0 (?1)n 2n+1 ＝π 4 ?f(1 2 )＝π 4 ．