圆台(棱台)的体积公式如何证明?

发布网友 发布时间：2022-05-07 13:50

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热心网友 时间：2023-11-03 22:44

圆台体积公式为v=(1/3)H[S'+√(SS')+S] (√为根号,表示开平方.)
证明:将上底面积为S',下底面积为S,高为H的园台的母线延长,得
一顶点为P的完整的园锥P-S,设延长部分的高为X,那么,园台的体
积V=(1/3)(H+X)S-(1/3)*XS'=(1/3)HS+(1/3)X(S-S')..(1)
现在我们设法把(1)式右边的X用已知量H,S,S'来表示它.在园锥
P-S中,S'‖S,∴S/S'=(H+X)^2/X^2.
两边同时开平方并取正值得
√S/√S'=(H+X)/X
依分比定理有
(√S-√S')/√S'=H/X
将上式左端的分子和分母同乘以(√S+√S'),得
(S-S')/[S'+√(SS')]=H/X
故X=H[S'+√(SS')]/(S-S')...............(2)
将(2)代入(1)式的右边并整理,即得
v=(1/3)H[S'+√(SS')+S]

热心网友 时间：2023-11-03 22:44

圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的
为打字方便，设上下底面积S1，S2，上下两个棱（圆）锥高h1,h2,
h2-h1=h,
由相似知√S1/√S2=h1/h2
不妨设h1=k√S1,则h2=k√S2,
h=h2-h1=k(√S2-√S1)
k=h/(√S2-√S1)=h/[S2^(1/2)-S1^(1/2)]
棱(圆)锥体积=(1/3)[S2h2-S1h1]=(1/3)[S2k√S2-S1k√S1]
=(1/3)k[S2^(3/2)-S2^(3/2)]
=(1/3)[h/(√S2-√S1)]*[S2^(3/2)-S2^(3/2)]
=(1/3)h[S2^(3/2)-S2^(3/2)]/[S2^(1/2)-S1^(1/2)]
=(1/3)h[S2+(S2S1)^(1/2)+S1]
=(1/3)h(S1+√S1S2+S2)

热心网友 时间：2023-11-03 22:44

圆台体积公式为v=(1/3)H[S'+√(SS')+S] (√为根号,表示开平方.)
证明:将上底面积为S',下底面积为S,高为H的园台的母线延长,得
一顶点为P的完整的园锥P-S,设延长部分的高为X,那么,园台的体
积V=(1/3)(H+X)S-(1/3)*XS'=(1/3)HS+(1/3)X(S-S')..(1)
现在我们设法把(1)式右边的X用已知量H,S,S'来表示它.在园锥
P-S中,S'‖S,∴S/S'=(H+X)^2/X^2.
两边同时开平方并取正值得
√S/√S'=(H+X)/X
依分比定理有
(√S-√S')/√S'=H/X
将上式左端的分子和分母同乘以(√S+√S'),得
(S-S')/[S'+√(SS')]=H/X
故X=H[S'+√(SS')]/(S-S')...............(2)
将(2)代入(1)式的右边并整理,即得
v=(1/3)H[S'+√(SS')+S]

热心网友 时间：2023-11-03 22:44

圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的
为打字方便，设上下底面积S1，S2，上下两个棱（圆）锥高h1,h2,
h2-h1=h,
由相似知√S1/√S2=h1/h2
不妨设h1=k√S1,则h2=k√S2,
h=h2-h1=k(√S2-√S1)
k=h/(√S2-√S1)=h/[S2^(1/2)-S1^(1/2)]
棱(圆)锥体积=(1/3)[S2h2-S1h1]=(1/3)[S2k√S2-S1k√S1]
=(1/3)k[S2^(3/2)-S2^(3/2)]
=(1/3)[h/(√S2-√S1)]*[S2^(3/2)-S2^(3/2)]
=(1/3)h[S2^(3/2)-S2^(3/2)]/[S2^(1/2)-S1^(1/2)]
=(1/3)h[S2+(S2S1)^(1/2)+S1]
=(1/3)h(S1+√S1S2+S2)

热心网友 时间：2023-11-03 22:45

用一个圆锥减去另一个圆锥。

热心网友 时间：2023-11-03 22:45

用一个圆锥减去另一个圆锥。

热心网友 时间：2023-11-03 22:44

圆台体积公式为v=(1/3)H[S'+√(SS')+S] (√为根号,表示开平方.)
证明:将上底面积为S',下底面积为S,高为H的园台的母线延长,得
一顶点为P的完整的园锥P-S,设延长部分的高为X,那么,园台的体
积V=(1/3)(H+X)S-(1/3)*XS'=(1/3)HS+(1/3)X(S-S')..(1)
现在我们设法把(1)式右边的X用已知量H,S,S'来表示它.在园锥
P-S中,S'‖S,∴S/S'=(H+X)^2/X^2.
两边同时开平方并取正值得
√S/√S'=(H+X)/X
依分比定理有
(√S-√S')/√S'=H/X
将上式左端的分子和分母同乘以(√S+√S'),得
(S-S')/[S'+√(SS')]=H/X
故X=H[S'+√(SS')]/(S-S')...............(2)
将(2)代入(1)式的右边并整理,即得
v=(1/3)H[S'+√(SS')+S]

热心网友 时间：2023-11-03 22:44

圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的
为打字方便，设上下底面积S1，S2，上下两个棱（圆）锥高h1,h2,
h2-h1=h,
由相似知√S1/√S2=h1/h2
不妨设h1=k√S1,则h2=k√S2,
h=h2-h1=k(√S2-√S1)
k=h/(√S2-√S1)=h/[S2^(1/2)-S1^(1/2)]
棱(圆)锥体积=(1/3)[S2h2-S1h1]=(1/3)[S2k√S2-S1k√S1]
=(1/3)k[S2^(3/2)-S2^(3/2)]
=(1/3)[h/(√S2-√S1)]*[S2^(3/2)-S2^(3/2)]
=(1/3)h[S2^(3/2)-S2^(3/2)]/[S2^(1/2)-S1^(1/2)]
=(1/3)h[S2+(S2S1)^(1/2)+S1]
=(1/3)h(S1+√S1S2+S2)

热心网友 时间：2023-11-03 22:45

用一个圆锥减去另一个圆锥。

热心网友 时间：2023-11-03 22:44

圆台体积公式为v=(1/3)H[S'+√(SS')+S] (√为根号,表示开平方.)
证明:将上底面积为S',下底面积为S,高为H的园台的母线延长,得
一顶点为P的完整的园锥P-S,设延长部分的高为X,那么,园台的体
积V=(1/3)(H+X)S-(1/3)*XS'=(1/3)HS+(1/3)X(S-S')..(1)
现在我们设法把(1)式右边的X用已知量H,S,S'来表示它.在园锥
P-S中,S'‖S,∴S/S'=(H+X)^2/X^2.
两边同时开平方并取正值得
√S/√S'=(H+X)/X
依分比定理有
(√S-√S')/√S'=H/X
将上式左端的分子和分母同乘以(√S+√S'),得
(S-S')/[S'+√(SS')]=H/X
故X=H[S'+√(SS')]/(S-S')...............(2)
将(2)代入(1)式的右边并整理,即得
v=(1/3)H[S'+√(SS')+S]

热心网友 时间：2023-11-03 22:44

圆台体积公式为v=(1/3)H[S'+√(SS')+S] (√为根号,表示开平方.)
证明:将上底面积为S',下底面积为S,高为H的园台的母线延长,得
一顶点为P的完整的园锥P-S,设延长部分的高为X,那么,园台的体
积V=(1/3)(H+X)S-(1/3)*XS'=(1/3)HS+(1/3)X(S-S')..(1)
现在我们设法把(1)式右边的X用已知量H,S,S'来表示它.在园锥
P-S中,S'‖S,∴S/S'=(H+X)^2/X^2.
两边同时开平方并取正值得
√S/√S'=(H+X)/X
依分比定理有
(√S-√S')/√S'=H/X
将上式左端的分子和分母同乘以(√S+√S'),得
(S-S')/[S'+√(SS')]=H/X
故X=H[S'+√(SS')]/(S-S')...............(2)
将(2)代入(1)式的右边并整理,即得
v=(1/3)H[S'+√(SS')+S]

热心网友 时间：2023-11-03 22:44

圆台体积公式为v=(1/3)H[S'+√(SS')+S] (√为根号,表示开平方.)
证明:将上底面积为S',下底面积为S,高为H的园台的母线延长,得
一顶点为P的完整的园锥P-S,设延长部分的高为X,那么,园台的体
积V=(1/3)(H+X)S-(1/3)*XS'=(1/3)HS+(1/3)X(S-S')..(1)
现在我们设法把(1)式右边的X用已知量H,S,S'来表示它.在园锥
P-S中,S'‖S,∴S/S'=(H+X)^2/X^2.
两边同时开平方并取正值得
√S/√S'=(H+X)/X
依分比定理有
(√S-√S')/√S'=H/X
将上式左端的分子和分母同乘以(√S+√S'),得
(S-S')/[S'+√(SS')]=H/X
故X=H[S'+√(SS')]/(S-S')...............(2)
将(2)代入(1)式的右边并整理,即得
v=(1/3)H[S'+√(SS')+S]

热心网友 时间：2023-11-03 22:44

圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的
为打字方便，设上下底面积S1，S2，上下两个棱（圆）锥高h1,h2,
h2-h1=h,
由相似知√S1/√S2=h1/h2
不妨设h1=k√S1,则h2=k√S2,
h=h2-h1=k(√S2-√S1)
k=h/(√S2-√S1)=h/[S2^(1/2)-S1^(1/2)]
棱(圆)锥体积=(1/3)[S2h2-S1h1]=(1/3)[S2k√S2-S1k√S1]
=(1/3)k[S2^(3/2)-S2^(3/2)]
=(1/3)[h/(√S2-√S1)]*[S2^(3/2)-S2^(3/2)]
=(1/3)h[S2^(3/2)-S2^(3/2)]/[S2^(1/2)-S1^(1/2)]
=(1/3)h[S2+(S2S1)^(1/2)+S1]
=(1/3)h(S1+√S1S2+S2)

热心网友 时间：2023-11-03 22:45

用一个圆锥减去另一个圆锥。

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圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的
为打字方便，设上下底面积S1，S2，上下两个棱（圆）锥高h1,h2,
h2-h1=h,
由相似知√S1/√S2=h1/h2
不妨设h1=k√S1,则h2=k√S2,
h=h2-h1=k(√S2-√S1)
k=h/(√S2-√S1)=h/[S2^(1/2)-S1^(1/2)]
棱(圆)锥体积=(1/3)[S2h2-S1h1]=(1/3)[S2k√S2-S1k√S1]
=(1/3)k[S2^(3/2)-S2^(3/2)]
=(1/3)[h/(√S2-√S1)]*[S2^(3/2)-S2^(3/2)]
=(1/3)h[S2^(3/2)-S2^(3/2)]/[S2^(1/2)-S1^(1/2)]
=(1/3)h[S2+(S2S1)^(1/2)+S1]
=(1/3)h(S1+√S1S2+S2)

热心网友 时间：2023-11-03 22:45

用一个圆锥减去另一个圆锥。

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圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的
为打字方便，设上下底面积S1，S2，上下两个棱（圆）锥高h1,h2,
h2-h1=h,
由相似知√S1/√S2=h1/h2
不妨设h1=k√S1,则h2=k√S2,
h=h2-h1=k(√S2-√S1)
k=h/(√S2-√S1)=h/[S2^(1/2)-S1^(1/2)]
棱(圆)锥体积=(1/3)[S2h2-S1h1]=(1/3)[S2k√S2-S1k√S1]
=(1/3)k[S2^(3/2)-S2^(3/2)]
=(1/3)[h/(√S2-√S1)]*[S2^(3/2)-S2^(3/2)]
=(1/3)h[S2^(3/2)-S2^(3/2)]/[S2^(1/2)-S1^(1/2)]
=(1/3)h[S2+(S2S1)^(1/2)+S1]
=(1/3)h(S1+√S1S2+S2)

热心网友 时间：2023-11-03 22:44

圆台体积公式为v=(1/3)H[S'+√(SS')+S] (√为根号,表示开平方.)
证明:将上底面积为S',下底面积为S,高为H的园台的母线延长,得
一顶点为P的完整的园锥P-S,设延长部分的高为X,那么,园台的体
积V=(1/3)(H+X)S-(1/3)*XS'=(1/3)HS+(1/3)X(S-S')..(1)
现在我们设法把(1)式右边的X用已知量H,S,S'来表示它.在园锥
P-S中,S'‖S,∴S/S'=(H+X)^2/X^2.
两边同时开平方并取正值得
√S/√S'=(H+X)/X
依分比定理有
(√S-√S')/√S'=H/X
将上式左端的分子和分母同乘以(√S+√S'),得
(S-S')/[S'+√(SS')]=H/X
故X=H[S'+√(SS')]/(S-S')...............(2)
将(2)代入(1)式的右边并整理,即得
v=(1/3)H[S'+√(SS')+S]

热心网友 时间：2023-11-03 22:45

用一个圆锥减去另一个圆锥。

热心网友 时间：2023-11-25 23:41

圆台体积公式为v=(1/3)H[S'+√(SS')+S] (√为根号,表示开平方.)
证明:将上底面积为S',下底面积为S,高为H的园台的母线延长,得
一顶点为P的完整的园锥P-S,设延长部分的高为X,那么,园台的体
积V=(1/3)(H+X)S-(1/3)*XS'=(1/3)HS+(1/3)X(S-S')..(1)
现在我们设法把(1)式右边的X用已知量H,S,S'来表示它.在园锥
P-S中,S'‖S,∴S/S'=(H+X)^2/X^2.
两边同时开平方并取正值得
√S/√S'=(H+X)/X
依分比定理有
(√S-√S')/√S'=H/X
将上式左端的分子和分母同乘以(√S+√S'),得
(S-S')/[S'+√(SS')]=H/X
故X=H[S'+√(SS')]/(S-S')...............(2)
将(2)代入(1)式的右边并整理,即得
v=(1/3)H[S'+√(SS')+S]