已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的一个焦点为(√5,0...
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发布时间：2024-10-24 12:58
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热心网友
时间：2024-10-29 16:07
和离心率(a/c)=。也就是说，半焦距c =,半长轴a = 3，根据椭圆的性质，a²=b²+c²，可以知道b = 2，所以椭圆的标准方程是x²/9 +y²/4 =1。第一小问成功解决了。对于第二小问，已知的是椭圆外的动点到椭圆C的两条切线互相垂直，要求的是点P的轨迹方程。对于这类问题，一般的方法是联立椭圆和切线的方程，由于只有一个交点，消去x或y后，得到的一元二次方程根的判别式△必定等于0。两切线互相垂直，设它们的斜率分别为k1、k2，则k1•k2 = -1。
设过点的其中一条切线斜率为k，则切线的点斜式方程为y - y0 = k(x - x0) 。联立切线方程与椭圆方程，消去y，得到关于x的一元二次方程
（4 + 9k²)x² +18k(y0 -kx0)x + 9[(kx -y0)²- 4] = 0
由于只有一个交点，所以此方程只有一个解，即
△ = [18k(y0 -kx0)]²-36(4 + 9k²)[(kx -y0)²- 4] = 0
一步步整理，得到
9k²(y0 -kx0)² - (4 + 9k²)[(kx -y0)²- 4] = 0
(4 + 9k²) - (y0 -kx0)² = 0 （*）
现在我们整理出了关于点P坐标(x0,y0)和斜率k的方程，我们只要要想办法消去参数k，就可以得到只含x0、y0的点P的轨迹方程。考虑到k1•k2 = -1，我们可以试着进一步整理（*）式，得到关于k的一元二次方程
（9 - x0²)k² + 2x0•y0•k + (4 -y0²) = 0
此时，应用韦达定理，我们可以消去k
k1•k2 = -1 = (4 -y0²)/（9 - x0²)
整理得到x0² + y0² = 13
所以点P的轨迹方程为x² + y² = 13
热心网友
时间：2024-10-29 16:09
数学之家
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