筛法(3)——孪生素数对的倒数和收敛【本文含错误】
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发布时间：2024-10-24 10:15
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时间：2024-11-05 10:23
回顾之前的系列：通过朴素的埃氏筛法探讨孪生素数
在系列文章的第一部分，我们引入了筛法公式：
[公式]
由此，对于小于等于x的孪生素数数量，我们有：
[公式]
利用莫比乌斯反演，公式变化为：
[公式]
接下来，我们分析的关键在于理解红色求和：
根据定义，我们可以得出：
[公式]
验证一下：如果[公式] 表示模d的同余类个数g(d)，则有：
[公式]
将(2)代入(1)，我们有：
[公式]
为了简化(3)，我们需要深入分析g(d)的性质。
当d为素数时，发现：
[公式]
这表明，当d为奇素数时，g(d)=2。利用中国剩余定理，对于奇素数乘积P，我们有：
[公式]
这意味着g(d)是积性函数，利于进一步简化。
利用这些信息，孪生素数计数函数的上界形式为：
[公式]
然而，指数项的误差使我们无法超越切比雪夫估计。因此，需要更精细的分析来优化误差项。
通过调整，我们注意到当d>y=x+2时，[公式] 为空，所以：
[公式]
接下来，我们集中分析[公式] 的上界。
Rankin's trick在此处发挥了作用，通过引入指数函数，我们得到：
[公式]
继续简化，我们得到：
[公式]
至此，我们得到了一个更精确的孪生素数计数函数上界。
在后续章节，我们将处理主项，并确定y和z的值以获得更确切的上界。
尽管本文中的埃氏筛法存在瑕疵，但孪生素数的倒数和依然显示出收敛性。
数学研究中，严谨性至关重要，即使在错误中，我们也寻找真理的脉络。
