微积分:证明数列极限存在和利用数列极限定义证明的两道题目
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发布时间：1天前
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时间：2024-12-03 18:54
给个思路，细节自己练练，有好处的。
放缩，然后用夹*准则得出结论。
放缩：1/(n^2+nπ) ≤1/(n^2+kπ)≤1/(n^2+π)对于任何1≤k≤n都成立
单调有界收敛准则。记其第n项为a_n，则a_(n+1)=根号(2+a_n), 然后利用数学归纳法可得:a_n单增，但有上界2。
显然 a_1=根号2<2，a_2=根号(2+根号2)>根号2，而a_2=根号(2+根号2)<=根号(2+2)=2
设a_(n-1)<a_n<2，则在n+1时，
一方面，a_(n+1)=根号(2+a_n)>根号(a_n+a_n)=根号(2*a_n)>根号(a_n*a_n)=a_n
另一方面，a_(n+1)=根号(2+a_n)<a_(n+1)=根号(2+2)=2
所以根据数学归纳法可知a_n单增且总小于2，从而收敛。
分子分母同除以x可变为lim(根号(1+1/x^2)/(1+1/x)),然后利用商的极限运算法则即可。
第二个问题: 对于任何ε>0，只要ε<|A|/2，则由lim(u_n)=A可知，存在时刻N，使得当n>N时，总有
|u_n-A|<ε<|A|/2，据此可知u_n与A同号(n>N时)，于是根据绝对值不等式有
||u_n|-|A||≤ |u_n-A|<ε (n>N时)
所以按定义有lim|u_n|=|A|。
反之不然：取u_n=(-1)^n，则|u_n|=1，其极限也为1。但原来的u_n则不存在极限。
第三个问题：分子分母同除以3^n，则容易看到分子的两项极限均为0(公比绝对值小于1的等比极限)；分母的第一项为-2*(-2/3)^n，极限为0；第二项为3，极限也是3。从而分式的极限为0/3=0
