数值优化笔记(二):约束优化问题
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发布时间：2024-10-24 16:19
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时间：2024-11-06 11:18
在汪哲培博士的深蓝学院公开课程《机器人学中的数值优化》中，他详细讲解了约束优化问题的各个方面。这些内容对于理解和解决机器人领域的优化问题至关重要。以下是课程中提到的一些关键点：
1. 约束优化问题的一般形式为：
- [公式]，其中[公式]表示不等式约束，[公式]代表等式约束，涉及的约束数量由下标决定。
2. 常见的优化问题类型包括线性规划（LP）、二次规划（QP）、二阶锥规划（SOCP）和半定规划（SDP），它们之间存在递进的复杂度关系。
3. 课程中特别关注了低维多约束问题的解决策略，如线性规划中的Seidel's算法。该算法通过逐步添加约束并降低问题维度，有效应对约束数量庞大的问题。
- 线性规划的低维优化：例如在凸多面体内找安全点，通过定义变量[公式]，优化目标[公式]。
4. 二次规划问题也有Seidel's算法的推广版本，其时间复杂度与约束数量相关。
5. 对于一般的约束优化问题，可通过罚函数法或障碍函数法转换为无约束优化问题，再用无约束优化算法求解。例如，等式约束的优化问题通过拉格朗日函数[公式]转换。
6. 增广拉格朗日方法是处理等式和不等式约束的强大工具，它通过对原问题进行改造，确保了连续性和一致性。对于等式约束问题，先求解内层优化问题，然后求解无约束优化问题。
总结：汪博士的课程深入浅出地介绍了约束优化问题的理论和方法，特别是针对机器人学中的实际应用提供了实用的解决策略。通过学习这些内容，可以更好地处理复杂的优化问题。
