正方形ABCD,过C点作CF∥BD取BF=BD交CD于E,交CF于F点,求证

发布网友发布时间：2024-10-22 04:07

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热心网友时间：2024-11-13 16:07

过B作BG⊥FC交FC的延长线于G。令AC、BD的交点为O。
∵ABCD是正方形，∴AC＝BD、CO＝（1/2）AC，∴CO＝（1/2）BD，又BD＝BF，
∴CO＝（1/2）BF。
∵CG∥OB、BG⊥CG，∴BG⊥OB。
∵ABCD是正方形，∴BO⊥CO，又BG⊥OB、BG⊥CG，∴BGCO是矩形，∴BG＝CO，
而CO＝（1/2）BF，∴BG＝（1/2）BF。
由BG＝（1/2）BF、BG⊥FG，得：∠BFG＝30°。

∵FG∥DB，∴∠DBF＝∠BFG＝30°。
∵BD＝BF，∴∠BDF＝∠DFE＝（1/2）（180°－∠DBF）＝（1/2）（180°－30°）＝75°。
∵ABCD是正方形，∴∠BDE＝45°。
∴由三角形外角定理，有：∠DEF＝∠BDE＋∠DBF＝45°＋30°＝75°。
∴∠DFE＝∠DEF＝75°，∴DE＝DF。