如图,△ABC是直角三角形,∠CAB=90°,D是斜边BC上的中点,E、F分别是A...
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发布时间：2024-10-22 16:46
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时间：2024-11-05 18:21
∵在Rt△ABC中，AB=AC，AD为BC边的中线，
∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=DC，
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°，
∴∠EDA=∠CDF，
在△AED与△CFD中，
∠EDA＝∠CDFAD＝CD∠EAD＝∠C，
∴△AED≌△CFD（ASA）．
∴AE=CF，
同理△AED≌△CFD，
∴AF=BE．
∵∠EAF=90°，
∴EF2=DE2+DF2，
∴BE2+CF2=EF2；
∵BE=12，CF=5，
∵EF=13，
∵△BDE≌△ADF，
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°．
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴在Rt△EDF中，由勾股定理得：ED2+DF2=132，
DE=DF=1322，
∴△DEF的面积S=12×DE×DF=12×1322×1322=1694；
（2）证明：连接AD，
∵在Rt△ABC中，AB=AC，AD为BC边的中线，
∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=DC，
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°，
∴∠EDA=∠CDF，
在△AED与△CFD中，
∠EDA＝∠CDFAD＝CD∠EAD＝∠C，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF，
同理△AED≌△CFD，
∴AF=BE．
∵∠EAF=90°，
∴EF2=DE2+DF2，
∴BE2+CF2=EF2．
