y=(sinx)^3/2（0<=x<=TT)与x轴围成的平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体的体积为。。求大神帮忙
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发布时间：2022-05-10 18:48
共2个回答
热心网友
时间：2023-10-22 18:20
解：体积V=[0，π]∫πy²dx=[0，π]∫πsin³xdx=[0，π]π∫[(1/4)(3sinx-sin3x)dx
=[0，π](π/4)[3∫sinxdx-(1/3)∫sin3xd(3x)=(π/4)[-3cosx+(1/3)cos3x]︱[0，π]
=(π/4)[(3-1/3)-(-3+1/3)]=(π/4)(3-2/3)=7π/12
其中用了三角公式：sin3x=3sinx-4sin³x.追问答案是(4/3)TT。怎么来的
追答对不起，最后出了点差错!更正如下：
=(π/4)[(3-1/3)-(-3+1/3)]=(π/4)(6-2/3)=16π/12=4π/3
热心网友
时间：2023-10-22 18:20
y=(sinx)^3/2，在[0，π]区间内与X 轴形成的封闭图形，在x 处以厚度dx形成的圆切片体积微元为：
dV = π[(sinx)^3/2]² *dx = π(sinx)^6 /4 *dx
V = [0，π]∫π(sinx)^6 /4 *dx
= [0，π]∫π(2sin² x)³ /32 *dx
= [0，π]∫π/32* (1-cos2x)³ *dx
= [0，π]∫π/32* [1 -3cos2x +3cos²2x-cos³2x) *dx
对于cos2x，cos³2x，在[0，π]区间为全周期积分，积分结果为0，因此
V = [0，π]∫π/32* (1+3cos²2x) *dx
= [0，π]∫π/32* [1+3/2 *(1+cos4x)] *dx
= 5π²/64 /** cos4x全周期积分为0 **/
