高中数学--不等式问题[高手快进}
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发布时间：2022-05-27 18:35
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热心网友
时间：2023-11-17 09:24
热心网友
时间：2023-11-17 09:25
(a+(b-c)^2)^(1/2)+(b+(c+a)^2)^(1/2)+(c+(a+b)^2)^(1/2)
=(a+(b-c)^2)^(1/2)+(b+(1-b)^2)^(1/2)+(c+(1-c)^2)^(1/2)
=(a+(b-c)^2)^(1/2)+((b-1/2)^2+3/4)^(1/2)+((c-1/2)^2+3/4)^(1/2)
固定a, 由b+c=1-a为定值
易知函数f(x)=((x-1/2)^2+3/4)^(1/2)为下凸函数, 于是
当|b-c|越大时 ((b-1/2)^2+3/4)^(1/2)+((c-1/2)^2+3/4)^(1/2) 越大
又显然当|b-c|越大时 (a+(b-c)^2)^(1/2) 也越大
由此可见当a固定时, 当|b-c|的值越大时原式的值越大,
不妨设b>=c, 于是原式最大值时必定有c=0, b=1-a, 代回原式即得要求原式的最大值, 只需求函数
g(a)=2((a-1/2)^2+3/4)^(1/2)+1当0<=a<=1的最大值
显然当a=0或a=1时g(a)最大值为3.
因此
当 a,b,c非负,a+b+c=1, 时
(a+(b-c)^2)^(1/2)+(b+(c+a)^2)^(1/2)+(c+(a+b)^2)^(1/2)
的最大值为3
当a,b,c中两者取0另一个取1时取得最大值.
