线性渗流定律及渗透系数
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发布时间：2022-05-26 05:00
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时间：2024-04-18 14:35
（1）Darcy实验（稳定流）
法国水力工程师Henry Darcy（亨利·达西）在装有均质砂土滤料的圆柱形筒中做了大量的渗流实验（图1-2-1），于1856年得到渗流基本定律，后人称之为Darcy定律，其形式为
地下水动力学（第五版）
图1-2-1 Darcy实验装置
式中：Q为渗透流量；A为渗流断面面积；H1、H2为1和2断面上的测压水头值；L为1和2两断面间的距离；J为水力坡度。圆筒中渗流属于均匀介质一维流动，渗流段内各点的水力坡度均相等；K为比例系数，称为砂土的渗透系数（也称水力传导系数）。Darcy定律的另一表达形式为
地下水动力学（第五版）
式中：v为渗流速度，又称Darcy速度，量纲为［LT-1］。渗流速度与水力坡度成正比，所以称它为线性渗透定律，说明此时地下水的流动状态为层流。
若将Darcy定律用于二维或三维的地下水运动，则水力坡度不是常量，沿流向可以变大也可以变小（在3.1节中详述），它应该用微分形式表示，即
地下水动力学（第五版）
式中： 是沿流线任意点的水力坡度。在直角坐标系中可表示为
地下水动力学（第五版）
（2）不稳定Darcy实验
Darcy实验是在定水头稳定流条件下进行的，那么在变水头条件下的不稳定渗流是否同样满足线性渗流定律呢？我们曾利用变水头渗流实验装置（图1-2-2），验证了Darcy线性定律同样适用于不稳定渗流（林敏，1982）。
根据Darcy定律，有
地下水动力学（第五版）
式中：H（t）是随时间变化的水头差；l为砂柱的长度；A为砂柱的横断面积；Q（t）是随时间变化的流量。
在dt时段内，通过砂柱断面的水体积为
地下水动力学（第五版）
按水均衡原理，通过砂柱断面的水体积为
地下水动力学（第五版）
式中的负号表示随着通过砂柱断面水体积（V）的增加，水头（H）值在减小。由（1-2-6）式和（1-2-7）式得到
地下水动力学（第五版）
则
地下水动力学（第五版）
积分
地下水动力学（第五版）
得
地下水动力学（第五版）
则
地下水动力学（第五版）
图1-2-2 不稳定Darcy实验装置（据林敏，1982）
图1-2-3 变水头渗流实验数据的t-lg H图（据林敏，1982）
由（1-2-8）式说明，如果不稳定渗流服从Darcy定律，则观测数据（t，H）在t-lg H坐标系中呈线性关系；否则呈非线性关系。反之，我们可根据实验曲线t-lg H的形态来判断渗流是否服从Darcy线性定律。图1-2-3表示遵循Darcy定律的一次实验数据。显然我们也可以通过不稳定渗流实验利用（1-2-8）式求得砂样的渗透系数值。
（3）渗透系数（水力传导系数）
由Darcy定律v＝KJ可知，渗透系数K是v与J间的比例常数，但我们必须了解它的物理意义。
渗透系数是一个极其重要的水文地质参数。它反映岩层的透水性能，是地下水计算中一个不可缺少的指标。那么渗透系数的大小取决于哪些因素呢？
我们做一个试验：在同样大小的水头差作用下，用油和水分别去渗透同一块土，尽管它们的水力坡度相等，然而，由于油的粘滞性大和容重小，使得两者的渗透流速不相等，即v油<v水。根据Darcy定律可以得出结论K油<K水（因为J油＝J水）。这个事实说明，一块土的渗透系数的大小不仅决定于介质的空隙性，而且还决定于渗流液体的物理性质。
下面通过两个简单的理想模型，来帮助我们从本质上理解渗透系数的概念（陈崇希，1966）。
水力学中曾得到：在层流条件下，圆管中过水断面的平均流速为
地下水动力学（第五版）
式中：d为圆管的内直径；μ为液体的动力粘滞系数，μ＝ρν，ρ为液体的密度，ν为液体的运动粘滞系数；γ为液体的容重。
若把孔隙岩层的透水介质理想化，看成由一系列细小的圆管组成而保证其孔隙率不变（图1-2-4），则沿圆管方向的渗透流速为
地下水动力学（第五版）
地下水在裂隙岩层中的运动，可以利用两平行板间液体的运动来对比。两平行板间的宽度可视为理想化的裂隙岩层的裂隙宽度。当液体做层流运动时，其平均流速为
地下水动力学（第五版）
式中：B为两平行板的宽度。
图1-2-4 孔隙介质透水性理想模型（据陈崇希，1966）
图1-2-5 裂隙介质透水性理想模型（据陈崇希，1966）
若将一裂隙组想象成由一组等宽、平直的裂隙所组成（图1-2-5），则沿裂隙面方向的渗透流速为
地下水动力学（第五版）
将（1-2-10）式和（1-2-12）式与线性渗透定律v＝KJ进行比较，得出下列结论（陈崇希，1966）：
1）上述（1-2-10）式和（1-2-12）式中，渗透流速和水力坡度都成正比关系。说明它们和Darcy定律的条件相同，都属于层流状态。
2）渗透系数K在孔隙岩层中有
地下水动力学（第五版）
在裂隙岩层中有
地下水动力学（第五版）
两式右端前面的因子表示透水岩层的空隙性，后面的因子表示液体的物理性质。从而进一步证明了这样一个结论：渗透系数的大小不仅取决于岩石的空隙性，而且与渗透液体的物理性质有关。
若以k表示纯粹由岩石空隙性所决定的渗透性能，则
地下水动力学（第五版）
式中：k称为渗透率（也称渗透度）， 。它是不随液体的物理性质而变化的。显然，k的数值决定于空隙的大小（d、B）和空隙率（n），这是对上述理想化了的空隙介质而言。对实际的介质，k还与空隙形状、空隙的曲折性、连通性等有关。从上式可以看出：空隙的大小（d，B）对k起主要作用（因为它们是平方关系），而空隙率起次要作用。实际资料表明：粘土的孔隙率一般为50％～60％，但它的渗透率仅是粗砂土（孔隙率约为30％～40％）的0.0001～0.00001。这充分说明了上述结论的正确性。当然，这里还存在结合水几乎不参与流动的问题。
3）液体的物理性质对渗透系数的大小有直接的影响。它与γ成正比，与动力粘滞系数μ成反比。可以想象，若γ＝0（例如在失重的人造卫星上），即使有水头差，液体也不会运动；在其他条件相同的情况下，γ愈大则愈易流动。但若液体粘滞性愈大，则愈不易流动，例如油不如水容易流动。对于地下水来讲，γ和μ决定于水的矿化度、水温和压力等因素，其中温度对粘滞性μ的影响较大。例如：
地下水动力学（第五版）
1泊＝0.1Pa·s。
由此可知，水温差10℃，K值差30％～40％。因此，在地下水温度变化较大的地区工作时，要十分重视液体的物理性质对渗透系数的影响。水文地质工作者在矿化度和地下水温差别不大的地区工作时，经常忽略水的物理性质对岩层透水性的影响，而用渗透系数K这个综合性参数来表征岩层的透水性能。
（4）线性定律的适用条件
许多研究者做了大量的实验，证实了线性定律有一定的适用范围。J.Bear把在多孔介质中的地下水流按渗透流速由低到高划分为3种情况（表1-2-1）。
表1-2-1 Darcy定律适用范围
（据Bear，1972）
实验证明，仅当Re<10的条件下，通过多孔介质的流体做层流运动，渗流才满足Dar-cy定律，即渗透流速v和水力坡度J呈线性关系；当Re>10时，渗透流速和水力坡度呈曲线关系，Darcy定律不再适用（图1-2-6）。
由于不同流动状态下的地下水遵循不同的流动规律，所以确定渗流场内流动状态是属于层流还是紊流就显得十分重要。通常采用临界速度vc或临界雷诺数Re来判定。下边介绍两个常用的判别式。
对于孔隙岩层，应用前苏联学者H.H.Πавловский（巴甫洛夫斯基）给出的公式：
地下水动力学（第五版）
图1-2-6 渗流速度和水力坡度的实验关系曲线（据Bear，1972）
式中：νc为临界渗透流速；Re为临界雷诺数，对于同类结构的岩层，其值相同，一般取7～9；n为岩层空隙率；ν为液体运动粘滞系数；d0为土的有效直径 。
当v<vc时，地下水呈层流状态；当v>vc时，地下水呈紊流状态。实际资料说明，自然界孔隙岩层中的地下水运动基本上属于层流状态。我们以砾石层为例进行计算，若n＝0.3，ν＝0.013cm2/s（当水温为10℃时），Re＝8，d0＝0.1mm，则其临界速度为
地下水动力学（第五版）
地下水动力学（第五版）
而自然界砾石层的渗透系数通常为500～1000m/d，即使水力坡度取1/100，据此计算的渗透流速也只为5～10m/d，远远小于上述临界速度。由此可得结论：在自然条件下，孔隙岩层中的地下水运动一般属于层流状态。
对于裂隙岩层，前苏联学者ЛомизеГ.М.（罗米捷，1951）在裂隙模型中做了大量实验，得到判别裂隙岩层流动状态的临界水力坡度Jc、裂隙宽度及裂隙相对粗糙度间关系的经验公式为
地下水动力学（第五版）
式中：δ为裂隙宽度（图1-2-7），cm；α为裂隙相对粗糙度 ，e为裂隙绝对粗糙度，cm。
根据Ломизе经验公式，取不同的裂隙宽度δ和相对粗糙度α，计算得到的临界水力坡Jc列于表1-2-2。
表1-2-2 不同裂隙宽度δ和相对粗糙度α计算得到的临界水力坡度Jc（单位：cm）
（据陈崇希，1966）
自然界的裂隙岩层从整体裂隙系统来看，通常裂隙宽度在1～2mm以下，从表中查得临界水力坡度为14％～250％。显然，天然条件下的地下水水力坡度难以达到该数值。所以，可以认为裂隙含水介质中一般情况下的地下水运动也是呈层流状态。仅仅在宽裂隙和溶洞发育地区可以形成局部的紊流地段。
有些学者还研究了Darcy定律的下限问题。他们通过实验发现，某些粘性土存在起始水力坡度J0。实际水力坡度J<J0时，渗流速度和水力坡度之间不呈线性关系；只有当J>J0时，渗流才服从Darcy定律。
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（1）Darcy实验（稳定流）
法国水力工程师Henry Darcy（亨利·达西）在装有均质砂土滤料的圆柱形筒中做了大量的渗流实验（图1-2-1），于1856年得到渗流基本定律，后人称之为Darcy定律，其形式为
地下水动力学（第五版）
图1-2-1 Darcy实验装置
式中：Q为渗透流量；A为渗流断面面积；H1、H2为1和2断面上的测压水头值；L为1和2两断面间的距离；J为水力坡度。圆筒中渗流属于均匀介质一维流动，渗流段内各点的水力坡度均相等；K为比例系数，称为砂土的渗透系数（也称水力传导系数）。Darcy定律的另一表达形式为
地下水动力学（第五版）
式中：v为渗流速度，又称Darcy速度，量纲为［LT-1］。渗流速度与水力坡度成正比，所以称它为线性渗透定律，说明此时地下水的流动状态为层流。
若将Darcy定律用于二维或三维的地下水运动，则水力坡度不是常量，沿流向可以变大也可以变小（在3.1节中详述），它应该用微分形式表示，即
地下水动力学（第五版）
式中： 是沿流线任意点的水力坡度。在直角坐标系中可表示为
地下水动力学（第五版）
（2）不稳定Darcy实验
Darcy实验是在定水头稳定流条件下进行的，那么在变水头条件下的不稳定渗流是否同样满足线性渗流定律呢？我们曾利用变水头渗流实验装置（图1-2-2），验证了Darcy线性定律同样适用于不稳定渗流（林敏，1982）。
根据Darcy定律，有
地下水动力学（第五版）
式中：H（t）是随时间变化的水头差；l为砂柱的长度；A为砂柱的横断面积；Q（t）是随时间变化的流量。
在dt时段内，通过砂柱断面的水体积为
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按水均衡原理，通过砂柱断面的水体积为
地下水动力学（第五版）
式中的负号表示随着通过砂柱断面水体积（V）的增加，水头（H）值在减小。由（1-2-6）式和（1-2-7）式得到
地下水动力学（第五版）
则
地下水动力学（第五版）
积分
地下水动力学（第五版）
得
地下水动力学（第五版）
则
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图1-2-2 不稳定Darcy实验装置（据林敏，1982）
图1-2-3 变水头渗流实验数据的t-lg H图（据林敏，1982）
由（1-2-8）式说明，如果不稳定渗流服从Darcy定律，则观测数据（t，H）在t-lg H坐标系中呈线性关系；否则呈非线性关系。反之，我们可根据实验曲线t-lg H的形态来判断渗流是否服从Darcy线性定律。图1-2-3表示遵循Darcy定律的一次实验数据。显然我们也可以通过不稳定渗流实验利用（1-2-8）式求得砂样的渗透系数值。
（3）渗透系数（水力传导系数）
由Darcy定律v＝KJ可知，渗透系数K是v与J间的比例常数，但我们必须了解它的物理意义。
渗透系数是一个极其重要的水文地质参数。它反映岩层的透水性能，是地下水计算中一个不可缺少的指标。那么渗透系数的大小取决于哪些因素呢？
我们做一个试验：在同样大小的水头差作用下，用油和水分别去渗透同一块土，尽管它们的水力坡度相等，然而，由于油的粘滞性大和容重小，使得两者的渗透流速不相等，即v油<v水。根据Darcy定律可以得出结论K油<K水（因为J油＝J水）。这个事实说明，一块土的渗透系数的大小不仅决定于介质的空隙性，而且还决定于渗流液体的物理性质。
下面通过两个简单的理想模型，来帮助我们从本质上理解渗透系数的概念（陈崇希，1966）。
水力学中曾得到：在层流条件下，圆管中过水断面的平均流速为
地下水动力学（第五版）
式中：d为圆管的内直径；μ为液体的动力粘滞系数，μ＝ρν，ρ为液体的密度，ν为液体的运动粘滞系数；γ为液体的容重。
若把孔隙岩层的透水介质理想化，看成由一系列细小的圆管组成而保证其孔隙率不变（图1-2-4），则沿圆管方向的渗透流速为
地下水动力学（第五版）
地下水在裂隙岩层中的运动，可以利用两平行板间液体的运动来对比。两平行板间的宽度可视为理想化的裂隙岩层的裂隙宽度。当液体做层流运动时，其平均流速为
地下水动力学（第五版）
式中：B为两平行板的宽度。
图1-2-4 孔隙介质透水性理想模型（据陈崇希，1966）
图1-2-5 裂隙介质透水性理想模型（据陈崇希，1966）
若将一裂隙组想象成由一组等宽、平直的裂隙所组成（图1-2-5），则沿裂隙面方向的渗透流速为
地下水动力学（第五版）
将（1-2-10）式和（1-2-12）式与线性渗透定律v＝KJ进行比较，得出下列结论（陈崇希，1966）：
1）上述（1-2-10）式和（1-2-12）式中，渗透流速和水力坡度都成正比关系。说明它们和Darcy定律的条件相同，都属于层流状态。
2）渗透系数K在孔隙岩层中有
地下水动力学（第五版）
在裂隙岩层中有
地下水动力学（第五版）
两式右端前面的因子表示透水岩层的空隙性，后面的因子表示液体的物理性质。从而进一步证明了这样一个结论：渗透系数的大小不仅取决于岩石的空隙性，而且与渗透液体的物理性质有关。
若以k表示纯粹由岩石空隙性所决定的渗透性能，则
地下水动力学（第五版）
式中：k称为渗透率（也称渗透度）， 。它是不随液体的物理性质而变化的。显然，k的数值决定于空隙的大小（d、B）和空隙率（n），这是对上述理想化了的空隙介质而言。对实际的介质，k还与空隙形状、空隙的曲折性、连通性等有关。从上式可以看出：空隙的大小（d，B）对k起主要作用（因为它们是平方关系），而空隙率起次要作用。实际资料表明：粘土的孔隙率一般为50％～60％，但它的渗透率仅是粗砂土（孔隙率约为30％～40％）的0.0001～0.00001。这充分说明了上述结论的正确性。当然，这里还存在结合水几乎不参与流动的问题。
3）液体的物理性质对渗透系数的大小有直接的影响。它与γ成正比，与动力粘滞系数μ成反比。可以想象，若γ＝0（例如在失重的人造卫星上），即使有水头差，液体也不会运动；在其他条件相同的情况下，γ愈大则愈易流动。但若液体粘滞性愈大，则愈不易流动，例如油不如水容易流动。对于地下水来讲，γ和μ决定于水的矿化度、水温和压力等因素，其中温度对粘滞性μ的影响较大。例如：
地下水动力学（第五版）
1泊＝0.1Pa·s。
由此可知，水温差10℃，K值差30％～40％。因此，在地下水温度变化较大的地区工作时，要十分重视液体的物理性质对渗透系数的影响。水文地质工作者在矿化度和地下水温差别不大的地区工作时，经常忽略水的物理性质对岩层透水性的影响，而用渗透系数K这个综合性参数来表征岩层的透水性能。
（4）线性定律的适用条件
许多研究者做了大量的实验，证实了线性定律有一定的适用范围。J.Bear把在多孔介质中的地下水流按渗透流速由低到高划分为3种情况（表1-2-1）。
表1-2-1 Darcy定律适用范围
（据Bear，1972）
实验证明，仅当Re<10的条件下，通过多孔介质的流体做层流运动，渗流才满足Dar-cy定律，即渗透流速v和水力坡度J呈线性关系；当Re>10时，渗透流速和水力坡度呈曲线关系，Darcy定律不再适用（图1-2-6）。
由于不同流动状态下的地下水遵循不同的流动规律，所以确定渗流场内流动状态是属于层流还是紊流就显得十分重要。通常采用临界速度vc或临界雷诺数Re来判定。下边介绍两个常用的判别式。
对于孔隙岩层，应用前苏联学者H.H.Πавловский（巴甫洛夫斯基）给出的公式：
地下水动力学（第五版）
图1-2-6 渗流速度和水力坡度的实验关系曲线（据Bear，1972）
式中：νc为临界渗透流速；Re为临界雷诺数，对于同类结构的岩层，其值相同，一般取7～9；n为岩层空隙率；ν为液体运动粘滞系数；d0为土的有效直径 。
当v<vc时，地下水呈层流状态；当v>vc时，地下水呈紊流状态。实际资料说明，自然界孔隙岩层中的地下水运动基本上属于层流状态。我们以砾石层为例进行计算，若n＝0.3，ν＝0.013cm2/s（当水温为10℃时），Re＝8，d0＝0.1mm，则其临界速度为
地下水动力学（第五版）
地下水动力学（第五版）
而自然界砾石层的渗透系数通常为500～1000m/d，即使水力坡度取1/100，据此计算的渗透流速也只为5～10m/d，远远小于上述临界速度。由此可得结论：在自然条件下，孔隙岩层中的地下水运动一般属于层流状态。
对于裂隙岩层，前苏联学者ЛомизеГ.М.（罗米捷，1951）在裂隙模型中做了大量实验，得到判别裂隙岩层流动状态的临界水力坡度Jc、裂隙宽度及裂隙相对粗糙度间关系的经验公式为
地下水动力学（第五版）
式中：δ为裂隙宽度（图1-2-7），cm；α为裂隙相对粗糙度 ，e为裂隙绝对粗糙度，cm。
根据Ломизе经验公式，取不同的裂隙宽度δ和相对粗糙度α，计算得到的临界水力坡Jc列于表1-2-2。
表1-2-2 不同裂隙宽度δ和相对粗糙度α计算得到的临界水力坡度Jc（单位：cm）
（据陈崇希，1966）
自然界的裂隙岩层从整体裂隙系统来看，通常裂隙宽度在1～2mm以下，从表中查得临界水力坡度为14％～250％。显然，天然条件下的地下水水力坡度难以达到该数值。所以，可以认为裂隙含水介质中一般情况下的地下水运动也是呈层流状态。仅仅在宽裂隙和溶洞发育地区可以形成局部的紊流地段。
有些学者还研究了Darcy定律的下限问题。他们通过实验发现，某些粘性土存在起始水力坡度J0。实际水力坡度J<J0时，渗流速度和水力坡度之间不呈线性关系；只有当J>J0时，渗流才服从Darcy定律。
