高数极限
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发布时间:2022-05-29 18:55
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热心网友
时间:2023-11-06 15:01
在数学中,如果某个变化的量无限地*近于一个确定的数值,那么该定值就叫做变化的量的极限。
数列极限
定义
设|Xn|为一无穷数列,如果存在常数a对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时的一切Xn,均有不等式|Xn - a|<ε都立,那么就称常数a是数列|Xn|的极限,或称数列{Xn}收敛于a。记为
lim Xn = a 或Xn→a(n→∞)
如果数列没有极限,就说数列发散。
编辑本段
性质
1.唯一性:若数列的极限存在,则极限值是唯一的,且其子数列的极限与原数列的相等;
2.有界性:如果一个数列{xn}收敛(有极限),那么这个数列{xn}一定有界。
但是,如果一个数列有界,这个数列未必收敛。例如{xn}:1,-1,1,-1,……(-1)^n+1,……
3.保号性:如果一个数列{xn}收敛于a,且a>0(或a<0),那么存在正整数N>0,当n>N时,都有xn>0(或xn<0)。
4.收敛数列与其子列间的关系:(通俗讲:改变数列的有限项,不改变数列的极限。)如果数列{xn}收敛于a,那么它的任意子数列也收敛,且极限也是a。
常用数列的极限
当n→∞时,有
An=c 极限为c
An=1/n 极限为0
An=x^n (∣x∣小于1) 极限为0
编辑本段
数列极限存在的充分条件
夹*原理
设有数列{An},{Bn}和{Cn},满足 An ≤ Bn ≤ Cn, n∈Z*,如果lim An = lim Cn = a ,
则有 lim Bn = a.
单调收敛定理
单调有界数列必收敛。[是实数系的重要结论之一,重要应用有证明极限 lim(1+1/n)^n 的存在性]
柯西收敛准则
设{Xn}是一个数列,如果任意ε>0, 存在N∈Z*, 只要 n 满足 n > N ,则对于任意正整数p,都有
|X(n+p) - Xn | < ε . 这样的数列{Xn}称为柯西数列,
这种渐进稳定性与收敛性是等价的。即互为充分必要条件。
编辑本段
函数极限
专业定义
设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ ,使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时,对应的函数值f(x)都满足不等式:
|f(x)-A|<ε
那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。
通俗定义
1、设函数y=f(x)在(a,+∞)内有定义,如果当x→+∞时,函数f(x)无限接近一个确定的常数A,则称A为当x趋于+∞时函数f(x)的极限。记作limf(x)=A ,x→+∞。
2、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义,当x无限趋近a时(记作x→a),函数值无限接近一个确定的常数A,则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。记作lim f(x)=A ,x→a。
函数的左右极限
1:如果当x从点x=x0的左侧(即x〈x0)无限趋近于x0时,函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限,记作x→x0-limf(x)=a.
2:如果当x从点x=x0右侧(即x>x0)无限趋近于点x0时,函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限,记作x→x0+limf(x)=a.
注:若一个函数在x(0)上的左右极限不同则此函数在x(0)上不存在极限
一个函数是否在x(0)处存在极限,与它在x=x(0)处是否有定义无关,只要求y=f(x)在x(0)附近有定义即可。
两个重要极限
1、x→0,sin(x)/x →1
2、x→0,(1 + x)^1/x→e或 x→∞ ,(1 + 1/x)^x→e
x→∞ ,(1 + 1/x)^(1/x) → 1
(其中e≈2.7182818...是一个无理数)
编辑本段
函数极限的运算法则
设lim f(x) ,lim g(x)存在,且令lim f(x) =A, lim g(x)=B,则有以下运算法则,
线性运算
加减:
lim ( f(x) ± g(x) )= A ± B
数乘:
lim( c* f(x))= c * A (其中c是一个常数)
非线性运算
乘除:
lim( f(x) * g(x))= A * B
lim( f(x) / g(x)) = A / B ( 其中B≠0 )
幂:
lim( f(x) ) ^n = A ^ n
极限的求法有很多中:
1、连续初等函数,在定义域范围内求极限,可以将该点直接代入得极限值,因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值
2、利用恒等变形消去零因子(针对于0/0型)
3、利用无穷大与无穷小的关系求极限
4、利用无穷小的性质求极限
5、利用等价无穷小替换求极限,可以将原式化简计算
6、利用两个极限存在准则,求极限,有的题目也可以考虑用放大缩小,再用夹*定理的方法求极限
7、利用两个重要极限公式求极限
8、利用左、右极限求极限,(常是针对求在一个间断点处的极限值)
9、洛必达法则求极限
其中,最常用的方法是洛必达法则,等价无穷小代换,两个重要极限公式。
在做题时,如果是分子或分母的一个因子部分,如果在某一过程中,可以得出一个不为0的常数值时,我们常用数值直接代替,进行化简。另外,也可以用等价无穷小代换进行化简,化简之后再考虑用洛必达法则。
热心网友
时间:2023-11-06 15:02
问题呢?极限,内容太多了。