柯西数列是无限数列吗

发布网友发布时间：2022-05-29 18:55

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热心网友时间：2023-11-06 15:01

柯西收敛原理”是数学分析中的一个重要定理之一，这一原理的提出为研究数列极限和函数极限提供了新的思路和方法。
在有了极限的定义之后，为了判断具体某一数列或函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨。在经过了许多数学家的不断努力之后，终于由法国数学家柯西（Cauchy）获得了完善的结果。下面我们将以定理的形式来叙述它，这个定理称为“柯西收敛原理”。

定理叙述：
数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε成立
将柯西收敛原理推广到函数极限中则有：
函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有Z属于实数，当x,y>Z时，有|f(x)-f(y)|<ε成立
此外柯西收敛原理还可推广到广义积分是否收敛，数项级数是否收敛的判别中，有较大的适用范围。追问收敛数列不一定是单调的，这个怎么解释？也就是说单调有界数列是收敛的充分条件而不是必要条件。

热心网友时间：2023-11-06 15:02

恩单调有界数列是收敛的充分条件而不是必要条件. 举个例子 (-1/2)^n 不是单调的, 但是是收敛的.